Lista över gränser

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 8 januari 2017; kontroller kräver 3 redigeringar .

Detta är en lista över gränser och regler för att beräkna dem för grundläggande funktioner . I exemplen nedan är a och b konstanter med avseende på x .

Allmänna egenskaper för limits

Låt och . Sedan:

\lim_{x \to c} f(x) = L_1

\lim_{x \to c} g(x) = L_2

\lim_{x \to c} \, [f(x) \pm g(x)] = L_1 \pm L_2

\lim_{x \to c} \, [f(x)g(x)] = L_1 \ gånger L_2

\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_1}{L_2}

, om

L_2 \ne 0

\lim_{x \to c} \, f(x)^a = L_1^a

, om talet på höger sida och alla värden för den vänstra funktionen i närheten av m. x=c finns.

\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}

, om , eller ( L'Hospitals regel )

\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = 0

\lim_{x \to c} |g(x)| = +\infty

\lim_{h\till 0}{f(x+h)-f(x)\över h}=f'(x)

(definition av derivata )

\lim_{h\to0}\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)^\frac{1}{h}=\exp\left(\frac{f'( x)}{f(x)}\höger)

\lim _{h\to 0}{\left({f(e^{h}x) \over {f(x)}}\right)^{1 \over {h}}}=\ exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)

Gränser relaterade till kända konstanter

\lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e

( Napiers konstant ) - Andra anmärkningsvärda gränsen

\lim_{x\to+\infty} \left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\frac{1}{e}

\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!)}}=e

\lim_{n\to \infty }\, 2^{n} \underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\text{...} +\sqrt{2)))) }_n=\pi

( pi ), och om vi ersätter den innersta radikalen med , då blir gränsen lika med

{\sqrt {2}}

\sqrt{3}

{2\pi \over 3}

Bevis

Med värdet av den första anmärkningsvärda gränsen har vi

\lim _{n\to \infty }2^{n+1}\sin {\pi \over 2^{n+1}}=\lim _{m\to \infty }m\sin { \pi \over m}=\lim _{m\to \infty }\pi {\sin {\pi \over m} \over {\pi \over m))=\pi

(ett)

Eftersom det

\cos {x}={\sqrt {{1 \over 2}(1+\cos {2x))))),x\in \left(0,{\pi \over 2}\right)

vi har

\cos {\pi \over 2^{2}}={\sqrt {{1 \over 2}\left(1+\cos {\pi \over 2}\right)))={1 \ över 2}{\sqrt {2}}

\cos {\pi \over 2^{3}}={\sqrt {{1 \over 2}\left(1+\cos {\pi \over 4}\right)))={1 \ över 2}{\sqrt {2+{\sqrt {2))))

\cos {\pi \over 2^{4}}={\sqrt {{1 \over 2}\left(1+\cos {\pi \over 8}\right)))={1 \ över 2}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2)))))))

Genom att tillämpa metoden för matematisk induktion får vi

\cos {\pi \over 2^{n+1}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}} }}} _{n},n\in \mathbb {N}

Härifrån

\sin {\pi \over 2^{n+1}}={\sqrt {1-\cos ^{2}{\pi \over 2^{n+1))))={\sqrt {1-\left({1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots {\sqrt {2))))}} _{n}\right)^{2} }}={1 \över 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}}_{n}

Genom att ersätta detta uttryck med (1) får vi

\lim _{n\to \infty }2^{n+1}{1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2)) }}}} _{n}=\lim _{n\to \infty }2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2)))) }} _{n}=\pi

Q.E.D. För den innersta radikalen är istället beviset liknande, men istället måste man ta . $\sqrt{3}$ ${\sqrt {2}}$ $2^{n+1}$ $3\cdot 2^{n+1}$

Enkla funktioner

\lim_{x \to c} P(x) = P(c)

, var är ett polynom .

P(x)

\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^r} = +\infty

\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^r} = -\infty

, om r är udda och om r är jämnt.

+\infty

Logaritmiska och exponentiella funktioner

På $a>1:$

\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty

\lim_{x \to \infty} \log_a x = +\infty

\lim_{x \to -\infty} a^x = 0

\lim_{x \to \infty} a^x = +\infty

Trigonometriska funktioner

\lim_{x \to a} \sin x = \sin a

\lim_{x \to a} \cos x = \cos a

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

— Första underbara gränsen

\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0

\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}

\lim _{x\to n\pm 0}\operatörsnamn {tg} \left(\pi x+{\frac {\pi}{2}}\right)=\mp \infty

om n är ett heltal .

Gränser runt oändligheten

\lim_{x\to\infty}a/x=0

, för någon riktig a.

\lim_{x\to\infty}x/a=\begin{cases} \infty, & a > 0 \\ -\infty, & a < 0 \end{cases}

och finns inte för .

a=0

\lim_{x\to\infty}x^a=\begin{cases} \infty, & a > 0 \\ 1, & a = 0 \\ 0, & a < 0 \end{cases}

\lim_{x\to\infty}a^x=\begin{cases} \infty, & a > 1 \\ 1, & a = 1 \\ 0, & -1 < a < 1 \end{cases}

\lim_{x\to\infty}a^{-x}=\lim_{x\to\infty}1/a^{x}=0

för alla

a>1

\lim_{x\to\infty}\sqrt[x]{a}=\begin{cases} 1, & a > 0 \\ 0, & a = 0\end{cases}

och finns inte om .

a<0

\lim_{x\to\infty}\sqrt[a]{x}= \infty

för alla

a > 0

\lim_{x\to\infty}\log x=\infty

\lim_{x\to0^+}\log x=-\infty