Frihetsgrader (mekanik)

Frihetsgrader i mekanik är en uppsättning oberoende koordinater för förskjutning och / eller rotation som helt bestämmer positionen för ett system eller en kropp (och tillsammans med deras tidsderivator - motsvarande hastigheter - helt bestämmer tillståndet för ett mekaniskt system eller en kropp, det vill säga deras position och rörelse).

Detta grundläggande koncept används inom teoretisk mekanik , teorin om mekanismer och maskiner , maskinteknik , flyg och flygplansteorin, robotik .

Till skillnad från vanliga kartesiska eller någon annan typ av koordinater kallas sådana koordinater generellt för generaliserade koordinater ( kartesiska , polära eller några andra specifika koordinater är alltså ett specialfall av generaliserade). Faktum är att vi talar om den minsta uppsättningen av siffror som helt bestämmer den aktuella positionen (konfigurationen) för detta system.

Kravet på att denna uppsättning ska vara minimal eller oberoende av koordinater innebär att en uppsättning koordinater menas som är nödvändig för att beskriva systemets position endast med möjliga rörelser (till exempel, om en matematisk pendel beaktas , är det underförstått att dess längd kan inte ändras, och därför är koordinaten som kännetecknar avståndet från lasten till upphängningspunkten inte dess frihetsgrad, eftersom den inte kan förändras - det vill säga antalet frihetsgrader för en matematisk pendel i rymden är 2, och samma pendel, som bara kan röra sig i ett plan, är 1. De motsvarar pendelns avvikelsevinklar från vertikalen) .

I fallet när ett system med begränsningar beaktas (mer exakt, med begränsningar ), är antalet frihetsgrader för det mekaniska systemet mindre än antalet kartesiska koordinater för alla materialpunkter i systemet, nämligen:

n=3N-n_{{länk}},

var är antalet frihetsgrader,

n

N

är antalet materialpunkter i systemet,

n_{\text{länk}}

- antalet innehavsobligationer, med undantag för överflödiga [komm. 1] .

Antalet frihetsgrader beror inte bara på det verkliga systemets natur, utan också på modellen (approximation) inom vilken systemet studeras. Även i approximationen av klassisk mekanik (där denna artikel är allmänt skriven), om vi vägrar att använda ytterligare approximationer som förenklar problemet, kommer antalet frihetsgrader för alla makroskopiska system att visa sig vara enormt. Eftersom bindningarna inte är absolut stela (det vill säga, de kan i själva verket betraktas som bindningar endast inom ramen för en viss approximation), kan det verkliga antalet frihetsgrader för ett mekaniskt system uppskattas åtminstone som ett trefaldigt antal av atomer (och i kontinuum approximation, som oändlig). Men i praktiken används approximationer som gör det möjligt att radikalt förenkla problemet och minska antalet frihetsgrader när man överväger ett system; därför är antalet frihetsgrader i praktiska beräkningar ett ändligt, vanligtvis ganska litet, siffra.

Således reducerar den absolut stela kroppsapproximationen , som är ett exempel på en styv anslutning pålagd på varje par av materialpunkter i kroppen, antalet frihetsgrader för en styv kropp till 6. Med tanke på system som består av ett litet antal stela kroppar. organ som beaktas i denna approximation, de har således ett litet antal frihetsgrader, dessutom troligen reducerade genom påförandet av ytterligare begränsningar (motsvarande gångjärn, etc.) [Komm. 2] .

Antalet frihetsgrader för mekanismer kan vara både konstant och variabel [1] .

Exempel

En stel kropp som rör sig i tredimensionell rymd kan ha maximalt sex frihetsgrader: tre translationella och tre roterande.
Bilen, om den betraktas som en stel kropp, rör sig längs ett plan, eller snarare, längs en viss tvådimensionell yta (i tvådimensionell rymd). Den har två frihetsgrader (en roterande och en translationell).
Tåget tvingas röra sig längs spåret, och därför har det bara en frihetsgrad.

Frihetsgrader i högre dimensionellt utrymme

I det allmänna fallet har en stel kropp i utrymmet för mätningar frihetsgrader ( translationell och roterande). $d$ $d+{\frac {d(d-1)}{2}}$ $d$ ${\frac {d(d-1)}{2))$

Fasta ämnen. Deformerbara kroppar

Elastiska eller deformerbara kroppar kan betraktas som ett system av många minsta partiklar (ett oändligt antal frihetsgrader), i vilket fall systemet ofta anses ungefär ha ett begränsat antal frihetsgrader.

Om huvudobjektet för analysen är en rörelse som orsakar stora förskjutningar, betraktas den deformerbara kroppen för att förenkla beräkningarna ungefär som en absolut stel kropp och ibland som en materiell punkt. Till exempel, om rörelsen av en del av en mekanism som utför betydande förskjutningar studeras, är det i huvudsak möjligt (och med god noggrannhet) att betrakta delen som en absolut stel kropp (om nödvändigt, då, när huvuddelen rörelse har redan beräknats, korrigeringarna förknippade med dess små deformationer), särskilt detta gäller om till exempel satelliternas rörelse längs omloppsbanan undersöks, och om satellitens orientering inte beaktas, är det tillräckligt att betrakta det som en materiell punkt - det vill säga att begränsa beskrivningen av satelliten till tre frihetsgrader.

Kroppssystem

Ett system med flera kroppar kan i allmänhet ha ett sådant antal frihetsgrader, som är summan av frihetsgraderna för de kroppar som utgör systemet, minus de frihetsgrader som begränsas av interna begränsningar. En mekanism som innehåller flera sammankopplade kroppar kan ha fler frihetsgrader än en fri stel kropp. I det här fallet används termen "frihetsgrader" för att hänvisa till antalet parametrar som behövs för att exakt bestämma mekanismens position i rymden.

De flesta mekanismer har ett fast antal frihetsgrader, men fall med ett variabelt antal är möjliga. Den första mekanismen med ett varierande antal frihetsgrader uppfanns av den tyske mekanikern W. Wunderlich 1954 (se Wunderlich, 1954 ) - en platt mekanism med 12 länkar och 2 fasta gångjärn. En enklare mekanism med 9 länkar uppfanns och beskrevs (se Kovalev, 1994 ) av den ryske matematikern Mikhail Kovalev [1] .

En specifik typ av mekanism är en öppen kinematisk kedja , där stela länkar har rörliga leder som kan ge en frihetsgrad (om det är en gångjärnsled eller en glidled), eller två frihetsgrader (om det är en cylindrisk led) ). Sådana kedjor används ofta i moderna industriella mekanismer och i produktionen.

Den mänskliga handen har 7 frihetsgrader.

Ett mekaniskt system som har 6 fysiska frihetsgrader kallas holonomiskt . Om systemet har färre frihetsgrader kallas det nonholonomic . Ett mekaniskt system med mer kontrollerade frihetsgrader än antalet fysiska frihetsgrader kallas redundant .

Bestämning av mekanismernas frihetsgrader

De flesta konventionella mekanismer har en frihetsgrad, det vill säga det finns en ingångsrörelse som bestämmer en utgående rörelse. Dessutom är de flesta mekanismer platta. Rumsliga mekanismer är svårare att beräkna.

Chebyshev-Grabler-Kutzbach-formeln för att beräkna frihetsgrader

I sin enklaste form, för platta mekanismer, har denna formel formen:

m=3(n-1)-2f,

var är antalet frihetsgrader;

m

n

- antalet länkar i mekanismen (inklusive en fast länk - basen);

f

- antalet kinematiska par med en frihetsgrad ( ögla eller glidanslutning ).

I en mer allmän form, Chebyshev - Grabler - Kutzbach-formeln för platta mekanismer som innehåller mer komplexa länkförbindelser:

m=3(nj-1)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},

Eller för en rumslig mekanism (en mekanism som har en tredimensionell rörelse):

m=6(nj-1)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},

var är antalet frihetsgrader;

m

n

- antalet länkar i mekanismen (inklusive en fast länk - basen);

j

- Det totala antalet mobilanslutningar för länkar, utan hänsyn till antalet frihetsgrader för dessa anslutningar;

{\displaystyle \sum _{i=1}^{j}\ f_{i))

- summan av alla frihetsgrader för alla rörliga leder (gångjärn).

Hydraulisk drivning

Antalet frihetsgrader i ett hydraulsystem kan bestämmas genom att helt enkelt räkna antalet oberoende styrda hydraulmotorer .

Elektroteknik

Inom elektroteknik används begreppet "frihetsgrader" ofta för att beskriva antalet riktningar i vilka en fasstyrd antenn kan projicera sina strålar. Det är en mindre än antalet element som finns i gittret.

Principen för möjliga förskjutningar

Inom teoretisk mekanik är principen för möjliga förskjutningar känd , som, liksom jämviktsekvationerna för statik, låter dig hitta externa krafteffekter som verkar på ett mekaniskt system. Antalet ekvationer som sammanställs på basis av principen om möjliga förskjutningar är lika med antalet frihetsgrader för ett givet mekaniskt system.

Frihetsgrader för en molekyl

Huvudartikel: Degrees of freedom (fysik): Degrees of freedom of a molecule

Formeln för en gass inre energi:

U={\frac {i}{2}}\cdot {\frac {m}{\mu }}RT

, där är antalet frihetsgrader för en gasmolekyl;

i

m

är massan av gas;

\mu

är gasens molära massa ;

R

är den universella gaskonstanten ;

T

är gasens absoluta temperatur , inklusive antalet frihetsgrader för molekylen.

Denna formel är viktig för beräkningar, till exempel för förbränningsmotorer .

Kommentarer

↑ . Till exempel, om avstånden från en given punkt till tre punkter på en absolut stel kropp är fixerade, kommer fixering av avstånden från denna punkt till andra punkter på samma stela kropp att vara överflödig, eftersom de kommer att sparas automatiskt.
↑ . Man bör dock komma ihåg att, precis som vilken modell som helst, lägger en sådan modell ett visst verkligt pris när man använder den: den absolut stela kroppsmodellen ignorerar helt alla vibrationer och vågutbredning i den stela kropp som den appliceras på. Men som vanligt kan den användas som en nollapproximation, och de nödvändiga förädlingskorrigeringarna kan sedan beräknas separat, och kanske kan detta göras med mindre noggrannhet om de är små.

Anteckningar

↑ 1 2 Matematiska studier .

Litteratur

Targ S. M. En kort kurs i teoretisk mekanik. Proc. för tekniska högskolor - 10:e uppl., reviderad. och ytterligare - M .: Högre. shk., 1986.— 416 s., ill.
Buchholz N. N. Huvudkursen i teoretisk mekanik (del ett). Förlaget "Nauka", Huvudupplaga av fysisk och matematisk litteratur, M.: 1972, 468 sidor.
Wunderlich, W. Ein merkwürdiges Zwölfstabgetriebe : [ Tyska. ] // Osterreichisches Ingenieurarchiv. - 1954. - Bd. 8, H. 2/3. - S. 224-228.
Kovalev M.D. Geometrisk teori för gångjärnsanordningar : [ arch. 5 maj 2017 ] // Izvestiya RAN. Matematisk serie. - 1994. - V. 58, nr 1. - S. 45–70. - UDC 514 + 531,8 .

Länkar

Frihetsgrader . Matematiska studier . Hämtad: 26 juli 2019. (ryska)