Stereotypt utrymme

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 6 oktober 2020; verifiering kräver 1 redigering .

Inom funktionsanalys och relaterade områden inom matematiken är stereotypa rum en klass av topologiska vektorrum , som utmärks av något speciellt reflexivitetstillstånd . Denna klass har ett antal anmärkningsvärda egenskaper, i synnerhet är den mycket bred (till exempel innehåller den alla Fréchet-utrymmen , och därför alla Banach-utrymmen ), den består av utrymmen som är föremål för ett visst fullständighetsvillkor och bildar en sluten monoidal kategori med standardanalytiska medel för att konstruera nya utrymmen, såsom övergång till ett slutet delrum, kvotutrymme, projektiva och injektiva gränser, operatörsutrymme, tensorprodukter, etc.

Definition och kriterium för stereotyp

Ett stereotypt utrymme [1] är ett topologiskt vektorrum över fältet av komplexa tal [2] så att den naturliga avbildningen till det andra dubbla rummet $X$ $\mathbb {C}$

i:X\to X^{\star \star },\quad i(x)(f)=f(x),\quad x\in X,\quad f\in X^{\star }

är en isomorfism av topologiska vektorrum (det vill säga en linjär och homeomorf kartläggning). Här definieras det dubbla utrymmet som utrymmet för alla linjära kontinuerliga funktionaler utrustade med topologin av enhetlig konvergens på totalt avgränsade mängder i , och det andra dubbla utrymmet är utrymmet dubbla till i samma mening. ${\displaystyle X^{\star ))$ $f:X\to \mathbb {C}$ $X$ ${\displaystyle X^{\star \star ))$ ${\displaystyle X^{\star ))$

Följande kriterium är sant: [1] ett topologiskt vektorrum är stereotypt om och endast om det är lokalt konvext och uppfyller följande två villkor: $X$

pseudofullständighet : varje helt avgränsad Cauchy-riktning konvergerar, $X$
pseudosaturation : alla stängda konvexa balanserade rymliga [3] inställda är ett område på noll i . $D$ $X$ $X$

Pseudofullständighet är en försvagning av den vanliga egenskapen för fullständighet, och pseudosaturation är en försvagning av den cylinderformade egenskapen hos ett topologiskt vektorrum.

Exempel

Varje pseudokomplett trumutrymme (i synnerhet varje Banach-utrymme och varje Fréchet-utrymme) är stereotypt. Ett mätbart lokalt konvext utrymme är stereotypt om och bara om det är komplett. Om är ett normerat utrymme, och är en svag topologi på , genererad av funktionalerna i det dubbla rummet , då är utrymmet stereotypt med avseende på topologin om och bara om det är ändligt dimensionellt. Det finns stereotypa utrymmen som inte är Mackey-utrymmen . $X$ $X$ $X$ $\sigma$ $X$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $\sigma$ $X$

De enklaste kopplingarna mellan egenskaperna hos ett stereotypt utrymme och dess dubbla utrymme uttrycks av följande lista med regelbundenheter [1] [4] : $X$ ${\displaystyle X^{\star ))$

$X$ normable - Banach space - Smith space ; $\Longleftrightarrow$ $X$ $\Longleftrightarrow$ ${\displaystyle X^{\star ))$

$X$ mätbar - Fréchet utrymme - Brauner utrymme ; $\Longleftrightarrow$ $X$ $\Longleftrightarrow$ ${\displaystyle X^{\star ))$

$X$ fat har egendomen Heine-Borel; $\Longleftrightarrow$ ${\displaystyle X^{\star ))$

$X$ quasi -fat in i varje delmängd som absorberas av en pipa är fullständigt avgränsad; $\Longleftrightarrow$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $T$

$X$ — Mackey-utrymmet i alla -svagt kompakta set är kompakt; $\Longleftrightarrow$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $X$

$X$ — Montel-utrymmet är fat och har Heine-Borel-egendomen — Montel-utrymmet. $\Longleftrightarrow$ $X$ $\Longleftrightarrow$ ${\displaystyle X^{\star ))$

$X$ — utrymmet med den svaga topologin är ändligt dimensionellt i vilket kompakt utrymme som helst ; $\Longleftrightarrow$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $T$

$X$ är separerbar i det finns en sekvens av slutna delrum av ändlig kodimension med trivial skärningspunkt: . $\Longleftrightarrow$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $L_{n}$ ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }L_{n}=\{0\))$

$X$ har egenskapen (klassisk) approximation har egenskapen (klassisk) approximation; $\Longleftrightarrow$ ${\displaystyle X^{\star ))$

$X$ helt komplett [5] mättad [6] ; $\Longleftrightarrow$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $\Longleftrightarrow$ ${\displaystyle X^{\star ))$

$X$ — Ptak-utrymmet [7] till varje delutrymme som lämnar ett stängt spår på varje insatt kompakt stängs automatiskt. $\Longleftrightarrow$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $L$ $L\cap K$ $K$ ${\displaystyle X^{\star ))$

$X$ — Ett hyperkomplett utrymme [8] i varje konvex balanserad uppsättning som lämnar ett stängt spår på varje kompakt set in stängs automatiskt. $\Longleftrightarrow$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $B$ $B\cap K$ $K$ ${\displaystyle X^{\star ))$

Historik

De första resultaten som beskriver denna typ av reflexivitet hos topologiska vektorrum erhölls av M. F. Smith [9] 1952. Ytterligare forskning inom detta område utfördes av B. S. Brudovsky, [10] W. S. Waterhouse, [11] K. Browner, [12] S. S. Akbarov, [1] [4] [13] [14] och E. T. Shavgulidze . [15] Termen "stereotypiskt utrymme" introducerades av S. S. Akbarov 1995 [16] . Huvudegenskaperna för kategorin stereotypa utrymmen beskrevs av S. S. Akbarov i en serie verk 1995-2017.

Pseudo-komplettering och pseudo-mättnad

Varje lokalt konvext utrymme kan förvandlas till ett stereotypt utrymme med standardoperationerna som beskrivs av följande förslag. [ett] $X$

1. Varje lokalt konvext utrymme kan associeras med en linjär kontinuerlig mappning till något pseudokomplett lokalt konvext utrymme , kallat rymdpseudokomplettering , på ett sådant sätt att följande villkor är uppfyllda: $X$ $\triangledown _{X}:X\to X^{\triangledown }$ ${\displaystyle X^{\triangledown ))$ $X$

$X$ är pseudokomplett om och endast om är en isomorfism; $\triangledown _{X}:X\to X^{\triangledown }$
för varje linjär kontinuerlig mappning av lokalt konvexa utrymmen finns det en unik linjär kontinuerlig mappning så att . $\varphi :X\to Y$ $\varphi ^{\triangledown }:X^{\triangledown }\to Y^{\triangledown }$ $\triangledown _{Y}\circ \varphi =\varphi ^{\triangledown }\circ \triangledown _{X}$

Intuitivt kan man tänka på ett pseudo-komplett utrymme som "närmast utsidan" pseudo-komplett lokalt konvext utrymme, så att operationen lägger till några element till men inte ändrar topologin (liknande den vanliga kompletteringsoperationen). $X$ $X$ ${\displaystyle X\mapsto X^{\triangledown ))$ $X$ $X$

2. Varje lokalt konvext utrymme kan associeras med en linjär kontinuerlig mappning från något pseudo-mättat lokalt konvext utrymme , kallat space pseudo -saturation , på ett sådant sätt att följande villkor är uppfyllda: $X$ $\vartriangle _{X}:X^{\vartriangle }\till X$ ${\displaystyle X^{\vartriangle ))$ $X$

$X$ är pseudomättad om och endast om är en isomorfism; $\vartriangle _{X}:X^{\vartriangle }\till X$
för varje linjär kontinuerlig mappning av lokalt konvexa utrymmen finns det en unik linjär kontinuerlig mappning så att . $\varphi :X\to Y$ ${\displaystyle \varphi ^{\vartriangle }:X^{\vartriangle }\to Y^{\vartriangle ))$ $\varphi \circ \vartriangle _{X}=\vartriangle _{Y}\circ \varphi ^{\vartriangle }$

Pseudo-mättnad av ett utrymme kan intuitivt ses som "närmast insidan" pseudo-mättad lokalt konvex utrymme, så att operationen stärker topologin , men inte ändrar dess element. $X$ $X$ ${\displaystyle X\mapsto X^{\vartriangle ))$ $X$

Om är ett pseudokomplett lokalt konvext utrymme, så är dess pseudosaturation stereotyp. Dubbelt, om är ett pseudo-mättat lokalt konvext utrymme, så är dess pseudo -kompletterande stereotyp. För ett godtyckligt lokalt konvext utrymme är utrymmena och stereotypa [17] . $X$ ${\displaystyle X^{\vartriangle ))$ $X$ ${\displaystyle X^{\triangledown ))$ $X$ ${\displaystyle X^{\vartriangle \triangledown ))$ $X^{\triangledown \vartriangle }$

Kategorin av stereotypa utrymmen

Klassen Ste av stereotypa utrymmen bildar en kategori med linjära kontinuerliga avbildningar som morfismer och har följande egenskaper: [1] [13]

Ste är en pre-abelsk kategori;
Ste - komplett och medkomplett kategori;
Ste är en självdubbel kategori med avseende på övergångsfunktorn till det dubbla rummet; $X\mapsto X^{\star }$
Ste är en kategori med nodal nedbrytning : varje morfism har en nedbrytning , där är en strikt epimorfism, är en bimorfism och är en strikt monomorfism. $\varphi :X\to Y$ $\varphi =\sigma \circ \beta \circ \pi$ $\pi$ $\beta$ $\sigma$

För vilka två stereotypa utrymmen som helst och det stereotypa utrymmet för operatorer från till definieras som pseudosaturationen av utrymmet för alla linjära kontinuerliga mappningar som är utrustade med topologin av enhetlig konvergens på helt avgränsade mängder. Utrymmet är stereotypt. Det används för att definiera två naturliga tensorprodukter i Ste : $X$ $Y$ $Y\oslash X$ $X$ $Y$ ${\text{L}}(X,Y)$ $\varphi :X\to Y$ $Y\oslash X$

X\circledast Y:=(Y^{\star }\oslash X)^{\star },

X\odot Y:=Y\oslash X^{\star }.

Sats. Följande naturliga identiteter ingår i kategorin Ste : [1] [14] :

\mathbb {C} \circledast X\cong X\cong X\circledast \mathbb {C} ,

\mathbb {C} \odot X\cong X\cong X\odot \mathbb {C} ,

X\circledast Y\cong Y\circledast X,

X\odot Y\cong Y\odot X,

(X\circledast Y)\circledast Z\cong X\circledast (Y\circledast Z),

(X\odot Y)\odot Z\cong X\odot (Y\odot Z),

(X\circledast Y)^{\star }\cong Y^{\star }\odot X^{\star },

(X\odot Y)^{\star }\cong Y^{\star }\circledast X^{\star },

X\oslash Y\cong Y^{\star }\oslash X^{\star },

X\oslash (Y\circledast Z)\cong (X\oslash Y)\oslash Z,

(X\odot Y)\oslash Z\cong X\odot (Y\oslash Z)

I synnerhet är Ste en symmetrisk monoidal kategori med avseende på en bifunctor , en symmetrisk sluten monoidal kategori med avseende på en bifunctor och en inre hom-functor , och en *-autonom kategori :

\odot

\circledast

\oslash

X^{\star }\oslash (Y\circledast Z)\cong (X\circledast Y)^{\star }\oslash Z,

Kärna och kokkärna i kategorin Ste

Eftersom Ste är en pre-abelsk kategori, har varje morfism i den en kärna , en kokkärna, en bild och en sambild. Dessa objekt uppfyller följande naturliga identiteter: [1] $\varphi :X\to Y$

({\text{ker}}\varphi )^{\star }={\text{coker}}(\varphi ^{\star }),\qquad ({\text{coker}}\varphi) ^{\star }={\text{ker}}(\varphi ^{\star }),

({\text{im}}\varphi )^{\star }={\text{coim}}(\varphi ^{\star }),\qquad ({\text{coim}}\varphi) ^{\star }={\text{im}}(\varphi ^{\star }),

({\text{Ker}}\varphi )^{\perp \vartriangle }={\text{Im}}(\varphi ^{\star }),\qquad ({\text{Im}}\ varphi )^{\perp \vartriangle }={\text{Ker}}(\varphi ^{\star }),

{\text{Ker}}\varphi =({\text{Im}}(\varphi ^{\star }))^{\perp \vartriangle },\qquad {\text{Im}}\varphi =({\text{Ker}}(\varphi ^{\star }))^{\perp \vartriangle }.

Direkta och omvända gränser i kategorin Ste

Följande naturliga identiteter gäller: [1] [14]

{\Big (}\bigoplus _{i\in I}X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \prod _{i\in I}X_{i}^{\star }

{\Big (}\prod _{i\in I}X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \bigoplus _{i\in I}X_{i}^{\star }

Y\oslash {\Big (}\bigoplus _{i\in I}X_{i}{\Big )}\cong \prod _{i\in I}(Y\oslash X_{i})

{\Big (}\prod _{j\in J}Y_{j}{\Big )}\oslash X\cong \prod _{j\in J}(Y_{j}\oslash X)

{\Big (}\bigoplus _{i\in I}X_{i}{\Big )}\circledast {\Big (}\bigoplus _{j\in J}Y_{j}{\Big ) }\cong \bigoplus _{i\in I,j\in J}(X_{i}\circledast Y_{j})

{\Big (}\prod _{i\in I}X_{i}{\Big )}\odot {\Big (}\prod _{j\in J}Y_{j}{\Big ) }\cong \prod _{i\in I,j\in J}(X_{i}\odot Y_{j})

{\Big (}\lim _{i\to \infty }X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \lim _{\infty \gets i}X_{i}^{ \stjärna}

{\Big (}\lim _{\infty \gets i}X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \lim _{i\to \infty }X_{i}^{ \stjärna}

Y\oslash {\Big (}\lim _{i\to \infty }X_{i}{\Big )}\cong \lim _{\infty \gets i}(Y\oslash X_{i} )

{\Big (}\lim _{\infty \gets j}Y_{j}{\Big )}\oslash X\cong \lim _{\infty \gets j}(Y_{j}\oslash X )

{\Big (}\lim _{i\to \infty }X_{i}{\Big )}\circledast {\Big (}\lim _{j\to \infty }Y_{j}{\ Big )}\cong \lim _{i,j\to \infty }(X_{i}\circledast Y_{j})

{\Big (}\lim _{\infty \gets i}X_{i}{\Big )}\odot {\Big (}\lim _{\infty \gets j}Y_{j}{\ Big )}\cong \lim _{\infty \gets i,j}(X_{i}\odot Y_{j})

(här --- direkt gräns och --- omvänd gräns i kategorin Ste ). ${\displaystyle \lim _{i\to \infty ))$ ${\displaystyle \lim _{\infty \gets i))$

Grothendieck transformation

Om och är stereotypa utrymmen, då för alla element och formeln $X$ $Y$ $x\i X$ $y\i Y$

(x\circledast y)(\varphi )=\varphi (y)(x),\qquad \varphi \in X^{\star }\oslash Y

definierar en elementär tensor och formeln $x\circledast y\in X\circledast Y=(X^{\star }\oslash Y)^{\star }$

(x\odot y)(f)=f(x)\cdot y,\qquad f\in X^{\star }

--- elementär tensor $x\odot y\in X\odot Y=Y\oslash X^{\star }$

Sats. [1] För alla stereotypa utrymmen och det finns en unik linjär kontinuerlig mappning som mappar elementära tensorer till elementära tensorer

X

Y

\Gamma _{X,Y}:X\circledast Y\to X\odot Y

x\circledast y

x\odot y

\Gamma _{X,Y}(x\circledast y)=x\odot y,\qquad x\in X,\ y\in Y.

Kartfamiljen definierar en naturlig omvandling av en bifunktion till en bifunktion

\Gamma _{X,Y}:X\circledast Y\to X\odot Y

\circledast

\odot

Kartläggningen kallas för Grothendieck-transformationen . $\Gamma _{X,Y}$

Egenskapen för stereotyp approximation

En stereotyp utrymme sägs ha egenskapen stereotyp approximation , om varje linjär kontinuerlig karta kan approximeras i stereotypa utrymmet av operatörer med ändlig-dimensionella linjära kontinuerliga kartor. Detta tillstånd är svagare än förekomsten av en Schauder-bas i , men formellt starkare än den klassiska approximationsegenskapen (det är dock fortfarande okänt (2013) om stereotyp approximationen sammanfaller med den klassiska). $X$ $\varphi :X\to Y$ $X\oslash X$ $X$

Sats. [1] För ett stereotypt utrymme är följande villkor likvärdiga:

X

(i) har egenskapen stereotyp approximation;

X

(ii) Grothendieck-transformationen är en monomorfism (i kategorin Ste );

\Gamma _{X,X^{\star }}:X\circledast X^{\star }\to X\odot X^{\star }

(iii) Grothendieck-transformationen är en epimorfism (i kategorin Ste );

\Gamma _{X,X^{\star }}:X\circledast X^{\star }\to X\odot X^{\star }

(iv) för varje stereotyp utrymme är Grothendieck-transformationen en monomorfism (i kategorin Ste );

Y

\Gamma _{X,Y}:X\circledast Y\to X\odot Y

(v) för alla stereotypa utrymmen är Grothendieck-transformationen en epimorfism (i kategorin Ste ).

Y

\Gamma _{X,Y}:X\circledast Y\to X\odot Y

Sats. [1] Om två stereotyp utrymmen och har stereotyp approximation egenskap, då utrymmen , och har också stereotyp approximation egenskap.

X

Y

X\oslash Y

X\circledast Y

X\odot Y

I synnerhet, om den har egenskapen stereotyp approximation, gäller detsamma för och . $X$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $X\oslash X$

Applikationer

Som en symmetrisk monoidal kategori genererar Ste begreppen en stereotyp algebra (som en monoid i Ste ) och en stereotyp modul (som en modul i Ste över en sådan monoid). För vilken stereotyp algebra som helst är kategorierna Ste och Ste för vänster och höger stereotypmoduler över relativa kategorier över Ste . [1] Detta skiljer kategorin Ste från andra kända kategorier av lokalt konvexa utrymmen, eftersom tills nyligen endast kategorin Banach -utrymmen och kategorin Fin av ändligdimensionella utrymmen var kända för att ha denna egenskap. Å andra sidan är kategorin Ste så bred, och de medel den ger för att konstruera nya rum är så olika, att detta tyder på att alla resultat av funktionell analys kan omformuleras inom stereotypteorin utan betydande förluster. Efter denna idé kan man försöka att helt ersätta kategorin lokalt konvexa utrymmen i funktionsanalys (och relaterade områden) med kategorin Ste av stereotypa utrymmen för att jämföra de resulterande teorierna för att hitta möjliga förenklingar - detta program tillkännagavs av S. Akbarov 2005 [18] och följande resultat bekräftar dess betydelse: $A$ $A$ $A$ $A$

I teorin om stereotypa utrymmen ärvs approximationsegenskapen av operatörsutrymmen och tensorprodukter. Detta gör det möjligt att minska antalet motexempel i jämförelse med teorin om Banach-utrymmen, där, som bekant, utrymmet för operatorer inte ärver approximationsegenskapen. [19]
Den framväxande teorin om stereotypa algebror gör det möjligt att förenkla konstruktioner i dualitetsteorier för icke-kommutativa grupper. I synnerhet förvandlas gruppalgebror i dessa teorier till Hopf-algebror i vanlig algebraisk mening. [4] [14] [20]

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 S.S. Akbarov, 2003.
↑ ...eller över fältet för reella tal med en liknande definition. $\mathbb {R}$
↑ En mängd kallas rymlig om det för varje helt avgränsad mängd finns en ändlig mängd så att $D\subseteq X$ $A\subseteq X$ $F\subseteq X$ $A\subseteq D+F$
↑ 1 2 3 S.S. Akbarov, 2008.
↑ Ett lokalt konvext utrymme kallas cocomplete om varje linjär funktional som är kontinuerlig på varje helt avgränsad mängd är kontinuerlig på allt . $X$ $f:X\to \mathbb {C}$ $S\subseteq X$ $X$
↑ Ett lokalt konvext utrymme kallas mättat om det, för att mängden ska vara ett område med noll, räcker att det är konvext, balanserat och att det för varje helt avgränsat mängd finns ett slutet område med noll i en sådan det . $X$ $B$ $B$ $S\subseteq X$ $U$ $X$ $B\cap S=U$
↑ Ett lokalt konvext utrymme kallas ett Ptak-utrymme eller perfekt komplett om något delrum i det dubbla utrymmet är -svagt stängt när det lämnar ett -svagt stängt spår på polen av varje grannskap av noll . $X$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $Q\subseteq X^{\star }$ $X$ $X$ ${\displaystyle U^{\circ ))$ $U\subseteq X$
↑ Ett lokalt konvext utrymme kallas hyperkomplett om i det dubbla utrymmet någon absolut konvex uppsättning är -svagt stängd när den lämnar ett -svagt stängt spår på polen av varje grannskap av noll . $X$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $Q\subseteq X^{\star }$ $X$ $X$ ${\displaystyle U^{\circ ))$ $U\subseteq X$
↑ M. F. Smith, 1952.
↑ BSBrudovski, 1967.
↑ WCWaterhouse, 1968.
↑ K.Brauner, 1973.
↑ 1 2 S.S. Akbarov, 2013.
↑ 1 2 3 4 S.S. Akbarov (2017 ).
↑ SSAkbarov, ETShavgulidze, 2003.
↑ SSAkbarov (1995 ).
↑ Frågan om tillfälligheter är fortfarande öppen (2013). ${\displaystyle X^{\vartriangle \triangledown ))$ $X^{\triangledown \vartriangle }$
↑ SSAkbarov, 2005.
↑ A.Szankowski, 1981.
↑ J.Kuznetsova, 2013

Litteratur

Schäfer, H. Topologiska vektorrum. - Moskva: Mir, 1971.
Robertson A.P., Robertson, W.J. Topologiska vektorrum. - Moskva: Mir, 1967.
Smith, MF Pontrjagins dualitetssats i linjära utrymmen (engelska) // Annals of Mathematics : journal. - 1952. - Vol. 56 , nr. 2 . - S. 248-253 .
Brudovski, BS Om k- och c-reflexivitet för lokalt konvexa vektorrum (engelska) // Lithuanian Mathematical Journal : journal. - 1967. - Vol. 7 , nr. 1 . - S. 17-21 .
Waterhouse, WC Dubbla grupper av vektorrum (engelska) // Pac. J Math. : journal. - 1968. - Vol. 26 , nr. 1 . - S. 193-196 .
Brauner, K. Duals of Frechet spaces and a generalization of the Banach-Dieudonne theorem (engelska) // Duke Math. Jour. : journal. - 1973. - Vol. 40 , nej. 4 . - P. 845-855 .
Akbarov, S.S. Pontryagin-dualitet i teorin om topologiska vektorrum // Matematiska anteckningar: journal. - 1995. - T. 57 , nr 3 . - S. 463-466 . - doi : 10.1007/BF02303980 . (ryska)
Akbarov, SS Pontryagin-dualitet i teorin om topologiska vektorrum och i topologisk algebra (engelska) // Journal of Mathematical Sciences : journal. - 2003. - Vol. 113 , nr. 2 . - S. 179-349 . (inte tillgänglig länk)
Akbarov, S.S. Holomorfa funktioner av exponentiell typ och dualitet för Stein-grupper med en algebraisk sammankopplad enhetskomponent // Grundläggande och tillämpad matematik: tidskrift. - 2008. - T. 14 , nr 1 . - S. 3-178 . - arXiv : 0806.3205 . (ryska)
Akbarov, SS Kuvert och förfining i kategorier, med tillämpningar för funktionsanalys (engelska) // Dissertationes Mathematicae : journal. - 2016. - Vol. 513 . - S. 1 - 188 . - arXiv : 1110.2013 .
Akbarov, S.S.; Shavgulidze, ET Om två klasser av utrymmen reflexiv i betydelsen Pontryagin (engelska) // Mat. Sbornik: dagbok. - 2003. - Vol. 194 , nr. 10 . - S. 3-26 .
Akbarov, S.S. Kontinuerliga och jämna envelopper av topologiska algebror. Del 1 // Itogi nauki i tekhniki. Ser. Modern matta. och hennes app. Ämne. recension : tidning. - 2017. - T. 129 . - S. 3-133 . - doi : 10.1007/s10958-017-3599-6 . - arXiv : 1303.2424v10 . (ryska)
Akbarov, S.S. Kontinuerliga och jämna envelopper av topologiska algebror. Del 2 // Itogi nauki i tekhniki. Ser. Modern matta. och hennes app. Ämne. recension : tidning. - 2017. - T. 130 . - S. 3-112 . - doi : 10.1007/s10958-017-3600-4 . - arXiv : 1303.2424v10 . (ryska)
Kuznetsova, J. En dualitet för Moore-grupper // Journal of Operator Theory. - 2013. - T. 69 , nr 2 . - S. 101-130 .
Akbarov, SS Pontryagin-dualitet och topologiska algebror (engelska) // Banach Center Publications : journal. - 2005. - Vol. 67 . - S. 55 - 71 .
Szankowski, A. B(H) har inte approximationsegenskapen // Lag. Math.. - 1981. - T. 147 . — S. 147:89-108 .