Distributionskonvergens

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 12 januari 2020; kontroller kräver 2 redigeringar .

Distributionskonvergens i sannolikhetsteorin är en typ av konvergens av slumpvariabler .

Definition

Låt ett sannolikhetsutrymme och slumpvariabler definierade på det ges . Varje slumpvariabel inducerar ett sannolikhetsmått på , som kallas dess fördelning . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X,X_{n}:\Omega \to {\mathbb {R}}^{m},\,n=1,2,\ldots$ $\mathbb {R} ^{m}$

Slumpvariabler konvergerar i fördelningen till en slumpvariabel om fördelningarna konvergerar svagt till fördelningen , dvs. $X_n$ $X$ ${\mathbb {P}}^{{X_{n}}}$ $\mathbb {P} ^{X}$

\lim \limits _{{n\to \infty }}\int \limits _{{{\mathbb {R}}^{m}}}f(x)\,{\mathbb {P}}^{{ X_{n}}}(dx)=\int \limits _{({\mathbb {R}}^{m}}}f(x)\,{\mathbb {P}}^{{X}}( dx)

för varje kontinuerlig avgränsad [1] [2] funktion . $f:{\mathbb {R}}^{m}\to {\mathbb {R}}$

Anteckningar

Genom att använda Lebesgues integralmått förändringssats kan den sista likheten skrivas om enligt följande:

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\mathbb {E}}f(X_{n})={\mathbb {E}}f(X)

Distributionsgränsen är inte unik. Om fördelningarna av två slumpvariabler är identiska, är de antingen eller är inte en gräns för fördelningen av en sekvens av slumpvariabler.

Konvergensegenskaper i distribution

Slumpvariabler konvergerar i distribution till om deras fördelningsfunktioner konvergerar till gränsfördelningsfunktionen vid alla kontinuitetspunkter för den senare: $X_n$ $X$ $F_{{X_{n}}}$ $F_{X}$

F_{X}\in C(x)\Högerpil \lim \limits _{{n\to \infty }}F_{{X_{n}}}(x)=F_{X}(x)

Om alla slumpvariabler i definitionen är absolut kontinuerliga och deras densiteter konvergerar:

\lim \limits _{{n\to \infty }}f_{{X_{n}}}(x)\to f_{X}(x)

nästan överallt , sedan . Det omvända är i allmänhet inte sant!

X_{n}\till ^{{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D))))X

Konvergens i sannolikhet (och därmed konvergens nästan säkert i ) innebär konvergens i distribution : $L^{p}$

X_{n}\till ^{{\!\!\!\!\!\!\!{\mathbb {P}}}}X\Högerpil X_{n}\till ^{{\!\!\! \!\!\!\!{\mathcal {D}}}} X

. Det omvända är i allmänhet inte sant.

Se även

Slutskijs teorem

Anteckningar

↑ sv:Convergence_of_random_variables#Convergence_in_distribution
↑ sv:Convergence_of_measures#Weak_convergence_of_measures