Slutskijs teorem

Slutskys teorem kopplar samman konvergensen i mått och den svaga konvergensen av stokastiska variabler. Uppkallad efter Evgeny Evgenyevich Slutsky .

Formulering

Låt ett sannolikhetsutrymme ges och var slumpvariabler . Sedan om $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X_{n},Y_{m}:\Omega \to \mathbb {R} ,\,n,m\in \mathbb {N}$

X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D))}X

var är en slumpvariabel, och $X:\Omega \to \mathbb {R}$

Y_{m}\to ^{\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }c

var är en konstant då $c\in \mathbb {R}$

X_{n}+Y_{n}\till ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D))}X+c

och

X_{n}\cdot Y_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D))}c\cdot X

Generalisering

Låt under antagandena av den klassiska satsen det finns en kontinuerlig funktion . Sedan $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$

f(X_{n},Y_{n})\till ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D))}f(X,c)

Se även

Konvergens i sannolikhet
Distributionskonvergens
Mann-Walds teorem