Mann-Walds teorem

Mann -Wald-satsen eller kontinuerlig kartläggningssats ( CMT ) är en position inom sannolikhetsteorin som säger att kontinuerliga funktioner bevarar gränsen även om deras argument är sekvenser av slumpmässiga storheter . En kontinuerlig funktion i Heines definition mappar en konvergent sekvens till en annan konvergent sekvens: om x n → x , då g ( x n ) → g ( x ). Satsen säger att detta resultat också bevaras när den deterministiska sekvensen { x n } ersätts med en sekvens av slumpvariabler { X n }, och begreppet konvergens för reella tal ersätts av en av typerna av konvergens av slumpvariabler .

Teoremet bevisades första gången av Mann och Wald 1943 [1] .

Formulering

Låt { X n }, X vara slumpmässiga element definierade på ett metriskt utrymme S . Låt en funktion g : S → S′ (där S′ är ett annat metriskt mellanrum) vara diskontinuerlig vid punkter från mängden D g och Pr[ X ∈ D g ] = 0 . Sedan [2] [3] [4]

$X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {d}}\ g(X);$
$X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {p}}\ g(X);$
$X_{n}\ {\xrightarrow {\!\!as\!\!}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {\!\!as\! \!}}\ g(X).$

Se även

Slutskys teorem

Anteckningar

↑ Amemiya, 1985 , sid. 88
↑ Van der Vaart, 1998 , Teorem 2.3, sida 7
↑ Billingsley, 1969 , sid. 31, följd 1
↑ Billingsley, 1999 , sid. 21, sats 2.7

Litteratur

Anatoliev, Stanislav. Ekonometri för avancerade. Föreläsningskurs . - Moskva, 2002. (ryska)
Amemiya, Takeshi . Avancerad ekonometri (obestämd tid) . - Cambridge, MA: Harvard University Press , 1985. - ISBN 0-674-00560-0 .
Billingsley, PatrickKonvergens av sannolikhetsmått (obestämd) . - John Wiley & Sons , 1969. - ISBN 0-471-07242-7 .
Billingsley, Patrick. Konvergens av sannolikhetsmått (obestämd) . — 2:a. - John Wiley & Sons , 1999. - ISBN 0-471-19745-9 .
Mann, H.B.; Wald, A.Om stokastiska gräns- och ordningsrelationer // Annals of Mathematical Statistics : journal. - 1943. - Vol. 14 , nr. 3 . - S. 217-226 . - doi : 10.1214/aoms/1177731415 . — .
Van der Vaart, A.W. Asymptotisk statistik (neopr.) . - New York: Cambridge University Press , 1998. - ISBN 0-521-49603-9 .