Bogolyubovs "edge of the wedge"-sats

Bogolyubovs "edge of the wedge" -sats säger att en funktion av flera komplexa variabler som är holomorfa i två kilformade regioner med en gemensam kant på vilken den är kontinuerlig också är holomorf på kanten. Denna sats används i kvantfältteorin för att konstruera en analytisk fortsättning på Wightman-funktionerna . Den första formuleringen och beviset för satsen presenterades [1] av N. N. Bogolyubov vid en internationell konferens i Seattle, USA (september 1956) och publicerades även i monografin [2] (Appendix A, Sats 1). Därefter gavs andra bevis och generaliseringar av teoremet av Jost och Lehmann (1957), Dyson (1958), Epstein (1960) och andra matematiker [3] . Viktiga tillämpningar av "edge of the wedge"-satsen är: bevis på spridningsförhållanden i kvantfältteori, axiomatisk kvantfältteori, teori om generaliserade funktioner, generalisering av Liouvilles sats [3] .

Endimensionellt fall

För funktioner av en komplex variabel kan "kilens kant"-satsen formuleras enligt följande.

I det här exemplet är kilarna de övre och nedre halvplanen, och deras gemensamma spets är den verkliga axeln. Den givna satsen kan bevisas med hjälp av Moreras sats .

Allmänt fall

I allmänhet är en kil en produkt av en kon och ett öppet set.

Låt C  vara en öppen kon med vertex vid noll i det reella rummet R n . Låt E  vara en öppen mängd i R n (punkt). Vi definierar kilar och i det komplexa rummet C n . Kilarna och W' har en gemensam punkt E , där vi identifierar E med produkten av E och konens vertex.

Villkoren för satsen kan försvagas. För det första är det inte nödvändigt att definiera f helt och hållet på kilarna, det räcker att definiera f i något område av spetsen. För det andra är det inte nödvändigt att anta att f är definierat eller kontinuerligt på spetsen, det är tillräckligt att anta att de generaliserade funktionerna som ges av gränserna för f från de två kilarna på spetsen är lika.

Tillämpningar i kvantfältteori

I kvantfältteorin för Wightman-fördelningen finns det gränsvärden för Wightman-funktionerna beroende på komplexifieringsvariablerna i Minkowski-rummet. De är definierade och holomorfa på en kil där den imaginära delen av varje ligger i en öppen positiv tidsliknande kon. Permutationer av variabler ger olika Wightman-funktioner definierade på olika wedgar. Spetsen är en uppsättning rymdliknande punkter. Det följer av Bogolyubovs kilpunktsats att alla är analytiska förlängningar av en enda holomorf funktion definierad på en ansluten domän som innehåller alla kilar. I det här fallet följer likheten mellan gränsvärdena vid spetsen från axiomet för lokalitet i kvantfältteorin.

Se även

Tillämpning av "edge of the wedge"-satsen i kvantfältteori:

  1. Bogolyubov N. N., Logunov A. A., Todorov I. T. Grunderna i det axiomatiska tillvägagångssättet i kvantfältteori. — M.: Nauka, 1969.
  2. Bogolyubov N. N., Logunov A. A., Oksak A. I., Todorov I. T. Allmänna principer för kvantfältteori.  - 2:a uppl. Moskva: Fizmatlit, 2006. ISBN 5922106120 .
  3. Streeter R., Wightman A.S. PCT, spinn och statistik och allt det där. 1966.

Anteckningar

  1. ↑ Vladimirov V.S. Metoder för teorin om funktioner för flera komplexa variabler . - Moskva: Nauka, 1964. - S. 294-311.
  2. ↑ Bogolyubov N. N., Medvedev B. V., Polivanov M. K. Frågor om teorin om spridningsförhållanden  (neopr.) . - Moskva: Fizmatgiz, 1958.
  3. ↑ 1 2 Vladimirov V. S. Bogolyubovs "edge of the wedge"-sats, dess utveckling och tillämpningar // Problems of theoretical Physics. Samling tillägnad Nikolai Nikolaevich Bogolyubov i samband med hans sextioårsdag. - M., Nauka , 1969. - Upplaga 4000 ex. - c. 61-67