Brouwers fixpunktssats

Brouwers fixpunktsats är en viktig fixpunktsats som är tillämplig på kontinuerliga avbildningar i ändliga dimensionella utrymmen och är grunden för några mer allmänna satser.

Historik

Prioriteten i upptäckten av satsen tillhör Piers Georgievich Bol : i sitt arbete från 1904 [1] formulerade och bevisade han en sats som motsvarar fixpunktssatsen och beskrev tillämpningen av denna sats på teorin om differentialekvationer [2] . Dess resultat sågs dock inte. År 1909 återupptäckte Brouwer denna teorem för fallet . $n=3$

Formulering

Satsen är vanligtvis formulerad på följande sätt: Varje kontinuerlig karta av en sluten boll in i sig själv i ett ändligt dimensionellt euklidiskt rum har en fast punkt.

Mer detaljerat, överväga en sluten boll i n -dimensionellt utrymme . Låt vara några kontinuerliga kartläggning av denna boll i sig själv (inte nödvändigtvis strikt inuti sig själv, inte nödvändigtvis bijektiv , d.v.s. inte ens nödvändigtvis surjektiv ). Sedan finns det en poäng som . $B^{n}\subset {\mathbb R}^{n}$ $f\kolon B^{n}\till B^{n}$ $x\in B^{n}$ $f(x)=x$

Bevis

Av beräkningen av homologin eller homotopigrupperna för sfären och bollen, följer att det inte finns någon tillbakadragning av bollen till dess gräns.

Låt nu vara en kartläggning av bollen i sig själv, som inte har några fixpunkter. Låt oss konstruera på grundval av dets tillbakadragande av bollen till dess gräns. För varje punkt , betrakta linjen som går genom punkterna och (den är unik, eftersom det enligt antagandet inte finns några fasta punkter.). Låta vara skärningspunkten för denna linje med gränsen för bollen, och ligga mellan och . Det är lätt att se att kartan är en tillbakadragning av bollen till dess gräns. Motsägelse. $f\kolon B^{n}\till B^{n}$ $x$ $x$ $f(x)$ $y$ $x$ $f(x)$ $y$ $x\mapsto y$

Variationer och generaliseringar

Kakutani fixpunktssats
Schauders generalisering av Brouwers sats till fallet med konvexa kompakta mängder i Banach-utrymmen .
Schauder-Tikhonov-satsen är en generalisering av Schauder-satsen till fallet med lokalt konvexa topologiska vektorrum .
Sperners lemma är en kombinatorisk analog till Brouwers teorem.

Konsekvenser

Anteckningar

↑ Über die Bewegung eines mechanischen Systems in die Nähe einer Gleichgewichtslage (J. reine, angew. Math. 127 (1904), 179-276
↑ A. D. Myshkis, I. M. Rabinovich. Det första beviset för fixpunktssatsen för en kontinuerlig kartläggning av en boll i sig själv, gett av den lettiske matematikern P.G. - Ryska vetenskapsakademin , 1955. - T. 10 , nr 3 . - S. 188-192 . (ryska)

Litteratur

Shashkin Yu. A. Fasta punkter . — M .: Nauka, 1989. — 80 sid. - ( Populära föreläsningar om matematik ). - 92 000 exemplar.

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4226759-6