Descartes sats

Descartes sats eller Descartes teckenregel , - en sats som anger att antalet positiva rötter i ett polynom med reella koefficienter är lika med antalet teckenförändringar i serien av dess koefficienter eller ett jämnt tal mindre än detta tal (den rötter räknas med hänsyn till multipliciteten, nollkoefficienter vid räkning av antalet teckenförändringar beaktas inte).

Om man vet att alla rötter i ett givet polynom är reella (som till exempel för det karakteristiska polynomet i en symmetrisk matris), så ger Descartes sats det exakta antalet rötter. Med tanke på ett polynom kan du använda samma sats för att hitta antalet negativa rötter . $f(-x)$ $f(x)$

Bevis

Beteckna med antalet positiva rötter av polynomet och med antalet teckenförändringar i sekvensen av dess koefficienter. Uppenbarligen förändras inte dessa värden om polynomet multipliceras med , så vi kan anta att den ledande koefficienten är positiv utan förlust av generalitet. Dessutom, om är en rot av polynomet av multiplicitet , kan delas med , och från detta, naturligtvis, kommer inte att förändras heller. På grund av det senare kan vi anta att det inte är en rot av polynomet, det vill säga polynomets fria term skiljer sig från noll. $N(f)$ $f$ $L(f)$ $-ett$ $f$ $0$ $f$ $k$ $f$ ${\displaystyle x^{k))$ $N(f)$ $L(f)$ $0$ $f$

Låt oss bevisa flera lemman i tur och ordning:

Lemma 1

$N(f)\equiv L(f){\pmod {2))$

Bevis: Låt vara en fri termin . Sedan . Eftersom genom villkoret den ledande termen är positiv, kan vi hävda att värdet av , för tillräckligt stor x. Om du flyttar längs tallinjen till höger ändras tecken till , när du passerar roten av multiplicitetspolynomet . Därför är antalet positiva rötter, med hänsyn till multipliciteten, jämnt om , och udda om vice versa. Detta tecken bestäms av positivitet eller negativitet . Det är också uppenbart att eftersom polynomets ledande koefficient är positiv, beror pariteten också på den fria termens positivitet. Därmed är lemmat bevisat. $a$ $f$ $f(0)=a$ $f$ $f(x)>0$ $f$ $k$ $f(x)$ ${\displaystyle (-1)^{k))$ $f(0)>0$ $a$ $L(f)$

Lemma 2

$N(f)\leqslant N(f')+1$

Bevis: Enligt Rolles sats , mellan två rötter av ett polynom ligger roten till dess derivata. Dessutom är varje multiplicitetsrot av ett polynom en multiplicitetsrot av dess derivata. Härifrån får vi . Q.E.D. $f$ $k$ $f$ $k-1$ $N(f')\geqslant N(f)-1$

Lemma 3

$L(f')\leqslant L(f)$

Bevis: Uppenbarligen kan denna egenskap inte öka när man differentierar ett polynom.

Påstående

Antalet negativa rötter av polynomet är lika med antalet positiva rötter av polynomet , där . $f$ $g(x)=(-1)^{n}f(-x)$ $n=\deg f$

Lemma 4

$L(f)+L(g)\leqslant n$

Bevis: Koefficienterna för ett polynom erhålls från koefficienterna för ett polynom genom att växelvis multiplicera med . Om vi antar att alla koefficienter för polynomet är icke-noll, kommer det inte att ske någon teckenförändring i serien av koefficienter för polynomet på den plats där det var en teckenändring i deras serie, och vice versa - där det fanns inget y , det kommer att finnas y . Därför, i det här fallet, är summan av antalet teckenförändringar i dessa polynom exakt lika med . När man ersätter några koefficienter med nollor kan antalet teckenändringar inte öka, därför har vi i det allmänna fallet: . Lemmat är bevisat. $g$ $f$ $\pm 1$ $f$ $g$ $f$ $g$ $n$ $L(f)+L(g)\leqslant n$

Bevis för satsen

Låt oss bevisa ojämlikheten genom induktion på . Induktionsbas: vid , . Låt . Sedan . Med hjälp av lemman 2 och 3 och det induktiva antagandet att , får vi: . Jämställdhet är dock omöjlig på grund av Lemma 1. Och eftersom och är naturliga tal har vi: . $N(f)\leqslant L(f)$ $\deg f$ $\deg f=0$ $N(f)=L(f)=0$ $\deg f=n>0$ $\deg f'=n-1$ $N(f')\leqslant L(f')$ $N(f)\leqslant N(f')+1\leqslant L(f')+1\leqslant L(f)+1$ $N(f)=L(f)+1$ $N(f)$ $L(f)$ $N(f)\leqslant L(f)$

Om alla rötter till polynomet är reella, så har vi i kraft av den bevisade ojämlikheten och Lemma 4: . Varifrån får vi enligt den första delen av satsen: och , varifrån satsen följer. $f$ $n=N(f)+N(g)\leqslant L(f)+L(g)\leqslant n$ $N(f)=L(f)$ $N(g)=L(g)$

Historik

Regeln beskrevs först av Descartes i hans Geometry (1637) .

Se även

Sturms serie