Dirichlets teorem om diofantiska approximationer

Dirichlets teorem om diofantiska approximationer säger att [1]

För alla reella tal och naturliga Q finns det heltal p och q som uppfyller villkoret $\alfa$ $1\leqslant q\leqslant Q$

|\alpha qp|<{\frac {1}{Q}}

Det är en konsekvens av Dirichlet-principen . Teoremet bevisades av Dirichlet 1842.

Vissa konsekvenser

Låt vara ett irrationellt tal . Sedan finns det en oändlig uppsättning irreducerbara bråk oändligt nära i följande betydelse [1] : $\alfa$ ${\frac {p}{q)),$ $\alfa$

{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2))))

Den praktiska konstruktionen av sådana approximationer är lätt att utföra med hjälp av fortsatta bråk .

Variationer och generaliseringar

Dirichlet-principen tillåter oss att bevisa ett mer allmänt teorem:

för alla reella tal och naturliga finns heltal sådana att ${\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{n))$ $Q>1$ ${\displaystyle 0<q<Q,a_{1},...,a_{n))$

{\displaystyle |\alpha _{i}q-a_{i}|<{\frac {1}{\sqrt[{n}]{Q))))

Anteckningar

↑ 1 2 Nesterenko Yu. V., 2008 , sid. 187-189.

Litteratur

Nesterenko Yu. V. Talteori: en lärobok för studenter. högre lärobok anläggningar. - M . : Publishing Center "Academy", 2008. - 272 sid. - ISBN 978-5-7695-4646-4 .