Dirichlets enhetssats

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 25 maj 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Dirichlets enhetssats är en teorem i algebraisk talteori som beskriver rangordningen av en undergrupp av inverterbara element (även kallade enheter ) i ringen av algebraiska heltal i ett talfält . ${\mathcal {O}}_{K}$ $K$

Formulering

Låt vara ett talfält (det vill säga en ändlig förlängning av ) och låt vara dess ring av heltal. Då rangordningen av gruppen av inverterbara element är lika med , där är antalet olika inbäddningar i fältet av reella tal , och är antalet par av komplexa konjugata olika inbäddningar i som inte är rent verkliga. $K$ $\mathbb {Q}$ ${\mathcal {O}}_{K}$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $d=r+s-1$ $r$ $K$ $\mathbb {R}$ $s$ $\mathbb {C}$

Anteckningar

Med andra ord finns det enheter i gradfältsringen så att varje enhet är unikt representerad som ${\mathcal {O}}_{K}$ $K$ $n=r+2s$ $\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{d},d=r+s-1$ $\varepsilon \in {\mathcal {O}}_{K}$ $\varepsilon =\zeta \varepsilon _{1}^{a_{1}},...,\varepsilon _{d}^{a_{d}},$

där är heltal, och är någon rot av 1 som finns i

{\displaystyle a_{1},...,a_{d))

\zeta

{\mathcal {O}}_{K}

De enheter vars existens fastställs av Dirichlets sats kallas ringens grundläggande enheter . ${\displaystyle \varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{d))$ ${\mathcal {O}}_{K}$

Om , var är roten till ett irreducerbart polynom med rötter , då är inbäddningen reell om och endast om är en reell rot ur ekvationen . $K=\mathbb {Q} (\theta )$ $\theta$ $f(x)$ $\theta _{1},...,\theta _{n}$ $\sigma _{i}:K=\mathbb {Q} (\theta )\to \mathbb {Q} (\theta _{i})\subset \mathbb {C}$ $\theta _{i}$ $f(x)=0$

Bevisschema

Genom antagande finns det verkliga isomorfismer och komplexa isomorfismer . Som bevis visas elementen i fältet i två utrymmen: linjär och logaritmisk . $r$ ${\displaystyle \sigma _{1},...,\sigma _{r))$ $2s$ $\sigma _{r+1},{\bar {\sigma}}_{r+1},...,\sigma _{r+s},{\bar {\sigma}}_{ r+s}$ $L$ $A$

$L$ - utrymme av rader av formen , där med komponentvis addition och multiplikation. Låt oss definiera som , inbäddningen är injektiv . Bilden av fältet är ett visst diskret gitter - en uppsättning element i formen , där , och - någon grund för gittret. $(x_{1},...,x_{r},x_{r+1},...,x_{r+s})$ $x_{1},...,x_{r}\in \mathbb {R} ,x_{r+1},...,x_{r+s}\in \mathbb {C}$ $x:K\to L$ $x(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha ),...,\sigma _{r}(\alpha ),\sigma _{r+1}(\alpha ),. ..,\sigma _{r+s}(\alpha ))$ $L$ $K$ ${\displaystyle a_{1}e_{1}+...+a_{n}e_{n))$ $a_{j}\in \mathbb {Z}$ $e_{i}$

Utrymmet är ordnat så här: , , , . - Konverterar multiplikation till addition. Om det är normen då . $A$ $l:L\to A$ $l(x)={\bar {\lambda }}=(\lambda _{1},...,\lambda _{s+r})$ $l_{k}(x)=\ln |x_{k}|,k=1,...,r$ $l_{r+k}(x)=\ln |x_{r+k}|^{2},k=1,...,s$ $l(xy)=l(x)+l(y)$ $N(\alpha )$ $\alfa$ $\ln N(\alpha )=\summa \limits _{k=1}^{r+s}l_{k}(x(\alpha ))$

Vidare beaktas gruppen av enheter (reversibla element) i fältet . En mängd är en grupp genom multiplikation. Om alltså , dvs. mängden är avgränsad, vilket betyder att den är finit, vilket betyder att den består av rötter från 1 och är en undergrupp av . Om är en godtycklig enhet, då , , . Denna ekvation definierar ett dimensionshyperplan . Bilden är ett gitter i , eftersom det är en grupp genom addition och är diskret som en kontinuerlig bild av ett diskret gitter . $E$ $K$ ${\displaystyle W=\{\alpha \in K:l(\alpha )=0\))$ $l(\alpha )=0$ $(\forall k)|x_{k}(\alpha )|=|\sigma _{k}(\alpha )|=1$ $x(W)$ $W$ $E$ $\varepsilon$ $N(\varepsilon )=1$ $\ln |N(\varepsilon )|=0$ $\sum \limits _{k=1}^{r+s}l_{k}(\alpha )=0$ $\mathcal{L}$ $r+s-1$ $l(x(E))$ $A$ $l(x(E))$ $x(E)$

Således är vilken enhet som helst roten till 1, . Det återstår att bevisa att rangen är exakt , eller att det är ett komplett gitter i . Ett gitter i rymden är komplett om och endast om det finns en avgränsad mängd i rymden vars förskjutningar av alla vektorer i gittret helt fyller hela rummet. Beviset använder Minkowskis konvexa kroppslemma . Uppsättningen tas som lemmats kropp . Dess volym är . Att tillämpa Minkowski-lemmat ger följande följd: $\varepsilon =\zeta \varepsilon _{1}^{a_{1}}...\varepsilon _{d}^{a_{d}}$ $\zeta$ $d\leqslant r+s-1$ $E$ $r+s-1$ $l(x(E))$ $\mathcal{L}$ $X:|x_{k}|<c_{k},k=1,...,s,|x_{r+k}|^{2}<c_{r+k},k=1 ,...,s$ $L$ $2^{s}\pi ^{t}c_{1}\cdot ...\cdot c_{r+s}$

Om volymen av den huvudsakliga parallellepipeden som spänner över av gittrets basvektorer är lika och siffrorna är sådana att , då finns det en vektor som inte är noll i gittret så att . $x({\mathcal {O}}_{K})$ $\Delta$ $c_{k}>0$ $c_{1}\cdot ...\cdot c_{r+s}>(4/\pi )^{t}\Delta$ $x({\mathcal {O}}_{K})$ $x$ $|x_{k}|<c_{k},k=1,...,r,|x_{r+k}|^{2}<c_{r+k},k=1,. ..,s$

För alla har vi . Beteckna - ett hyperplan parallellt med . Låt - vara godtycklig, och . Om - är tillräckligt stor, då , och därmed, av följden ovan från Minkowski-lemmat, finns det sådana att , det vill säga , . $\alpha :N(\alpha )<Q,\alpha \neq 0$ $0\leqslant \lambda _{1}+...+\lambda _{r+s}<Q$ ${\mathcal {I}}=\{{\bar {\lambda }}:\lambda _{1}+...+\lambda _{r+s}=\ln Q\}$ $\mathcal{L}$ ${\bar {\lambda ))^{0}\in {\mathcal {I))$ ${\displaystyle c_{k}:\lambda _{k}^{0}=\ln c_{k))$ $Q>(4/\pi )^{t}\Delta$ $c_{1}\cdot ...\cdot c_{k}>(4/\pi )^{t}\Delta$ $\alpha \in {\mathcal {O}}_{K},\alpha \neq 0$ $|\sigma _{k}(\alpha )|<c_{k},k=1,...,r,|\sigma _{r+k}(\alpha )|^{2}< c_{r+k},k=1,...,s$ $N(\alpha )<Q$ $l_{k}(\alpha )<\lambda _{k}^{0},k=1,...,r+s$

Låt oss utse för godtycklig ovannämnda uppsättning som . Det är tydligt att alla uppsättningar är avgränsade. , dvs. erhålls genom att skifta med vektorn $\alpha :N(\alpha )<Q$ $\{{\bar {\lambda }}:\lambda _{k}>l_{k}(\alpha )\}$ $Y_{\alpha }$ $Y_{\alpha }$ $Y_{\alpha \varepsilon }=Y_{\alpha }+l(\varepsilon )$ ${\displaystyle Y_{\alpha \varepsilon ))$ $Y_{\alpha }$ $l(\varepsilon )$

I det finns bara ett ändligt antal parvisa icke-associerade tal , vars normer är mindre än i absolut värde , det vill säga om , då för någon enhet . Eftersom de täcker alla , och , betyder det att skiftningarna av den avgränsade mängden av alla vektorer kommer att täcka alla . Detta innebär att skiftningarna av den avgränsade mängden av alla vektorer kommer att täcka allt , vilket bevisar satsen. ${\mathcal {O}}_{K}$ $\alpha _{1},...,\alpha _{N}$ $F$ $N(\alpha )<Q$ $\alpha =\alpha _{i}\varepsilon$ $\varepsilon$ $Y_{\alpha }$ $\mathcal{I}$ $Y_{\alpha }=Y_{\alpha _{i}}+l(\varepsilon )$ $Y=Y_{\alpha _{1}}\cup ...\cup Y_{\alpha _{N}}$ $l(\varepsilon )$ $\mathcal{I}$ $U=Y-{\frac {\ln Q}{r+s}}(1,1,...,1)$ $l(\varepsilon )$ $\mathcal{L}$

Variationer och generaliseringar

Eftersom förlängningen av grad n uppfyller , då , och jämlikhet gäller om och bara om alla inbäddningar i rent verkliga. $r+2s=n$ $d\leqslant n-1$ $K$ $\mathbb {C}$

Gruppen av enheter i fältet är uttömd med rötter från 1 om och endast om , d.v.s. för och för är en tänkt kvadratisk förlängning. I alla andra fall finns det alltid minst en basenhet. $r+s=1$ $K=\mathbb {Q}$ $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-d)))$

Förekomsten av icke-triviala hela lösningar av Pells ekvation härleds från denna sats tillämpas på en kvadratisk förlängning av . $x^{2}-my^{2}=1$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {m)))$ $\mathbb {Q}$

Fallet med gruppen av inverterbara element med maximal rang är relaterat [1] till flerdimensionella fortsatta fraktioner .

Litteratur

↑ V. I. Arnold. Kedjefraktioner . - M .: MTSNMO , 2001. - S. 35. - ISBN 5-94057-014-3 . Arkiverad 8 juli 2011 på Wayback Machine

Ireland K., Rosen M. En klassisk introduktion till modern talteori. - M . : Mir, 1987. - S. 237.
Borevich Z.I., Shafarevich I.R. Talteori . - M . : Nauka, huvudupplagan av fysisk och matematisk litteratur, 1985. - S. 131 .