Kolmogorovs sats om tre serier

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 23 december 2019; verifiering kräver 1 redigering .

Kolmogorovs tre seriesats , uppkallad efter Andrey Kolmogorov , i sannolikhetsteorin sätter ett kriterium för konvergens med sannolikhet ett av en oändlig serie av slumpvariabler genom konvergensen av serier associerade med deras sannolikhetsfördelningar . Kolmogorovs treseriesats, kombinerat med Kroneckers lemma , kan användas för att bevisa den starka lagen om stora tal .

Definitioner

Låt vara lite konstant. Sedan $c$

\xi ^{c}={\begin{cases}\xi ,&|\xi |\leqslant c,\\0,&|\xi |>c.\end{cases}}

$jag$ är en indikator på uppsättningen värden för en slumpvariabel.

Uttalande av satsen

Låta vara en sekvens av oberoende slumpvariabler. För att serien ska konvergera med sannolikhet ett är det nödvändigt att serien konvergerar för någon $\xi _{1},\xi _{2}...$ $\sum \xi$ $c>0$

\sum \mathbb {E} \xi _{n}^{c},

\sum D\xi _{n}^{c},

\sum P(|\xi _{n}|\geqslant c)

och det är tillräckligt att dessa serier konvergerar för vissa . $c>0$

Bevis

Tillräcklighet

Genom tvåseriesatsen konvergerar serien med sannolikhet ett. Men om , sedan av Borel lemma - Cantelli med sannolikhet ett , och därmed för alla , utom kanske ett ändligt antal. Därför konvergerar serien också. ${\displaystyle \sum \xi _{n}^{c))$ $\sum P(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty$ $\sum I(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty$ ${\displaystyle \xi _{n}=\xi _{n}^{c))$ $n$ $\sum \xi$

Nödvändighet

Om serien konvergerar, och därför kan inte mer än ett ändligt antal händelser inträffa för alla . Därför , genom den andra delen av Borel-Cantelli-lemmat . Vidare, från seriens konvergens följer seriens konvergens . Därför, genom tvåseriesatsen, konvergerar var och en av serierna . ${\displaystyle \sum \xi _{n))$ $\xi _{n}\högerpil 0$ $c>0$ ${\displaystyle {|\xi _{n}|\geqslant c))$ $\sum I(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty$ $\sum P(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty$ ${\displaystyle \sum \xi _{n))$ ${\displaystyle \sum \xi _{n}^{c))$ $\sum \mathbb {E} \xi _{n}^{c}$ ${\displaystyle \sum D\xi _{n}^{c))$

Konsekvens

Låta vara oberoende slumpvariabler med . Sedan om $\xi _{1},\xi _{2}...$ $\mathbb {E} \xi _{n}=0$

\sum \mathbb {E} {\frac {\xi _{n}^{2}}{1+|\xi _{n}|}}<\infty ,

då konvergerar serien med sannolikhet ett. ${\displaystyle \sum \xi _{n))$

Exempel

Som ett exempel, betrakta den slumpmässiga övertonsserien :

\sum _{n=1}^{\infty }\pm {\frac {1}{n))

där " " betyder att tecknet för varje term väljs slumpmässigt, oberoende och med sannolikheter , . Genom att välja som en serie vars medlemmar är och med lika sannolikheter är det lätt att verifiera att den uppfyller villkoren för satsen och konvergerar med sannolikhet ett. Å andra sidan, en liknande serie av omvända kvadratrötter med slumpmässiga tecken: $\pm$ $1/n$ $1/2$ $1/2$ $\xi _{n}$ $1/n$ $-1/n$

\sum _{n=1}^{\infty }\pm {\frac {1}{\sqrt {n}}},

divergerar med sannolikhet ett, eftersom serien divergerar. ${\displaystyle \sum D\xi _{n}^{c))$

Litteratur

Shiryaev A. N. Sannolikhet. - 3:e uppl., reviderad. och ytterligare .. - M . : MTSNMO , 2004. (4 kap. 2 § 1 §)

Länkar

Sol, Rongfeng. Föreläsningsanteckningar (nedlänk) . Hämtad 22 september 2015. Arkiverad från originalet 17 april 2018. (obestämd)