Cauchys medelvärdessats är en generalisering av formeln för finita inkrement .
Låt två funktioner och ges så att:
Sedan finns det som är sant:
För att bevisa detta introducerar vi funktionen
Det är lätt att se att villkoren för Rolles sats är uppfyllda för det. Med hjälp av detta teorem får vi att det finns en punkt där derivatan av funktionen är lika med noll:
Om vi flyttar den andra termen i denna likhet åt höger får vi en formel från den mest allmänna formuleringen av satsen.
I den ursprungliga formuleringen återstår att dividera jämställdheten med och . Båda dessa siffror kommer att vara icke-noll även om krav 3 lättas upp till frånvaron av gemensamma nollor för och : detta krävs uttryckligen, och om , då
. |
Men eftersom det följer att det är en motsägelse med villkoret.