Cauchy-Kovalevskaya teorem

Cauchy-Kovalevskaya- satsen är ett teorem om existensen och unikheten hos en lokal lösning på Cauchy-problemet för en partiell differentialekvation . Kovalevskaya-satsen är en av de viktigaste och mest använda satserna i teorin om partiella differentialekvationer: Holmgrens sats om det unika med lösningen av Cauchy-problemet, existenssatser för lösningen av Cauchy-problemet för hyperboliska ekvationer, teorin om löslighet av linjära ekvationer använder Kovalevskaya-satsen.

Formulering

Låt oss överväga utrymme . En punkt i rymden kommer att betecknas med , och en punkt som tillhör , med . Beteckna den partiella differentieringsoperatorn $\mathbb {R} ^{n+1}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ $(x,t)=(x_{{1}},...,x_{{n}},t)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $x=(x_{{1}},...,x_{{n}})$

L\equiv \left({\frac {d}{dt}}\right)^{m}+\summa _{|\nu |+j\leqslant m,j\leqslant m-1}a_{ \nu ,j}(x,t)\left({\frac {d}{dx}}\right)^{\nu }\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j }.

Låt oss anta att koefficienterna för operatorn definieras i närheten av origo i utrymmet av variabler och är analytiska funktioner . Låt funktionen också vara analytisk i . Låt vektorn för initialdata vara analytisk i något område av ursprunget , dvs rymden. Sedan finns det en grannskap av ursprunget och en unik analytisk funktion definierad i vilken $L$ $U$ $(x,t)$ $f$ $U$ $\psi$ $x$ $W$ $u(x, t)$ $W$

Lu=f,(x,t){\mathcal {2}}W,\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j}u(x,0)=u_{ j}(x),x{\mathcal {2}}W\cap {\mathcal {f}}t=0{\mathcal {g}}\qquad (j=0,1,2,...,m -1).\qquad(1)

Bevis

Låt oss sätta

{\tilde {u}}(x,t)=u(x,t)-\sum _{j=0}^{m-1}{\frac {t^{j}}{j! }}u_{j}(x).

Sedan följer det av $(ett)$

L[{\tilde {u}}]=f-\sum _{j=0}^{m-1}L\vänster[{\frac {t^{j}}{j!)}} u_ {j}(x)\höger].

Därför, utan förlust av generalitet, kan vi anta att initialdata för är lika med noll. Låt oss skriva om i formen $u(x, t)$ $(ett)$

\left({\frac {d}{dt}}\right)^{m}u(x,t)=\summa _{j=0}^{m-1}\alpha _{j} (x,t;{\frac {d}{dx}})\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j}u(x,t)+f(x,t), \qquad(2)

där är ett polynom i grad vars koefficienter är analytiska i ett område av ursprunget. Det är lätt att se att koefficienterna för Taylor -seriens expansion ${\alpha }_{{j))(x,t;{\xi })$ $\xi$ $mj$ $U$ $c_{{\nu ,j}}$

u(x,t)=\sum _{j\geqslant m;\nu}c_{\nu,j}x^{\nu}t^{j}\qquad (3)

bestäms unikt av ekvationen och initiala förhållanden. Därefter bevisar vi konvergensen av serien . $(2)$ $(3)$

Majorantserier och polynom används för att bevisa seriens konvergens . En funktion kallas en majorantserie för vid origo om den är analytisk vid denna punkt och koefficienterna för dess Taylor-expansion är större än eller lika med de absoluta värdena för motsvarande koefficienter för Taylor -expansionen av funktionen , dvs. , . $(3)$ $F(x,t)$ $f(x,t)$ $C_{{\mu ,j}}$ $c_{{\mu ,j}}$ $f(x,t)$ $C_{{\mu ,j}}\geqslant |c_{{\mu ,j}}|$

Historik

Teoremet presenterades av S.V. Kovalevskaya till universitetet i Göttingen tillsammans med två andra arbeten som doktorsavhandling 1874.

Se även

Litteratur

S. Mizohata Theory of partial differentialequations, Moscow, Mir, 1977, 504 sidor.
O.A. Oleinik Theorem S.V. Kovalevskaya och den moderna teorin om partiella differentialekvationer // Soros Educational Journal , 1997, nr 8, s. 117