Monges sats (ett annat namn är satsen med tre kapsyler ) är en sats om tre cirklar formulerad av Jean d'Alembert och bevisad av Gaspard Monge . Används ofta som ett exempel på ett teorem i beviset för vilket det är användbart att öka dimensionen av utrymmet.
För tre godtyckliga cirklar, som var och en inte ligger helt inuti den andra, ligger skärningspunkterna för de gemensamma yttre tangenterna till varje par av cirklar på samma linje .
Det enklaste beviset använder en tredimensionell analogi. [1] Låt tre cirklar motsvara tre sfärer med olika radier; cirklarna motsvarar ekvatorerna, som uppstår från ett plan som går genom sfärernas centra. Tre sfärer kan klämmas ihop unikt mellan två plan. Varje par av sfärer definierar en kon som berör båda sfärerna från utsidan, och spetsen på denna kon motsvarar skärningspunkten för de två yttre tangenterna, det vill säga det yttre centret av likhet . Eftersom en linje av konen ligger i varje plan, måste spetsen för varje kon ligga i båda planen och därför någonstans på skärningslinjen mellan de två planen. Därför är de tre yttre centran av homotetin kolinjära.
Beviset kan konstrueras utan den tredimensionella analogin. I det här fallet kan vi betrakta en sammansättning av tre homoteter centrerade vid skärningspunkterna för gemensamma yttre tangenter till varje par av cirklar, under vilka var och en av homoteterna kommer att ta en cirkel till en annan. I detta fall kommer produkten av koefficienterna för dessa tre homoter att vara lika med 1 (eftersom koefficienten för var och en av homoteterna kommer att vara lika med förhållandet mellan radien för en cirkel och radien för den andra cirkeln), dvs. , kommer sammansättningen av tre sådana homoter att vara en parallell översättning. Men om vi betraktar ett av dessa tre cirklars centra, så kan vi se att när man komponerar homoter kommer det att förvandlas till sig självt, det vill säga att det blir en fast punkt. Som ett resultat kommer sammansättningen av tre homoter att vara en parallell översättning med en fast punkt, så denna sammansättning kommer att vara en identisk transformation. Och enligt satsen om tre homoteticentra , om sammansättningen av tre homoteter är en identisk transformation, så ligger deras centra på samma räta linje. Därför ligger skärningspunkterna för de gemensamma yttre tangenterna till varje par av cirklar på samma räta linje.