Radon-Nikodim teorem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 18 juni 2020; kontroller kräver 3 redigeringar .

Radon-Nikodim-satsen i funktionsanalys och relaterade discipliner beskriver den allmänna formen av ett mått som är absolut kontinuerligt med avseende på ett annat mått.

Uppkallad efter Otto Nikodim och Johann Radon .

Formulering

Låt vara ett mellanslag med mått . Låt oss anta att - är -ändlig . Om måttet är absolut kontinuerlig med avseende på , så finns det en mätbar funktion sådan att $(X,\;{\mathcal {F)),\;\mu )$ $\mu$ $\sigma$ $\nu \colon {\mathcal {F}}\to {\mathbb {R}}$ $\mu$ $(\nu\ll\mu )$ $f\colon X\to \mathbb {R}$

\nu (A)=\int \limits _{{A}}\!f(x)\,\mu (dx),\quad \forall A\in {\mathcal {F)),

där integralen förstås i Lebesgues mening .

Med andra ord, om en verkligt värderad funktion har egenskaperna: [1] $A\mapsto \nu (A)$

$\nu$ definieras på Borel algebra . ${\displaystyle S_{\mu ))$
$\nu$ tillsats; det vill säga för varje sönderdelning av en uppsättning i mängder , jämlikheten $A=\bigcup _{n}A_{n}$ ${\displaystyle A\in S_{\mu ))$ ${\displaystyle A_{n}\in S_{\mu ))$ $\nu (A)=\summa _{n}\nu (A_{n})$
$\nu$ absolut kontinuerlig; det vill säga följer av . $\mu (A)=0$ $\nu (A)=0$

då kan det representeras som

\nu (A)=\int _{A}f(x)d\mu ,

där integralen förstås i Lebesgues mening .

Relaterade begrepp

Funktionen vars existens garanteras av Radon-Nikodim-satsen kallas Radon-Nikodim-derivatet av måttet med avseende på måttet . Skriva: $f$ $\nu$ $\mu$ $f={\frac {d\nu }{d\mu }}.$
- Om är ett dimensionellt
vektorrum med en Borel σ-algebra , är fördelningen av någon stokastisk variabel , och är Lebesgue-måttet på , då kallas Radon-Nikodim-derivatan av måttet med avseende på måttet för distributionstätheten av slumpmässig variabel . $(X,\;{\mathcal {F}})=\left({\mathbb {R}}^{k},\;{\mathcal {B}}({\mathbb {R}}^{k} )\höger)$ $k$ $\nu ={\mathbb {P}}^{{X}}$ $X$ $\mu=m$ ${\mathbb {R}}^{k}$ $\mathbb {P} ^{X}$ $m$ $X$

Egenskaper

Låt vara -ändliga mått definierade på samma mätbara utrymme . Sedan om och , då $\lambda ,\;\mu ,\;\nu$ $\sigma$ $(X,\;{\mathcal {F}})$ $\mu \ll \lambda$ $\nu \ll \lambda$

{\frac {d(\mu +\nu )}{d\lambda }}={\frac {d\mu }{d\lambda }}+{\frac {d\nu }{d\lambda }}.

Låt . Sedan $\nu \ll \mu \ll \lambda$

{\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}

uppfyllt - nästan överallt.

\lambda

Låt och vara en mätbar funktion integrerad med avseende på måttet , då $\mu \ll \lambda$ $g\colon X\to {\mathbb {R}}$ $\mu$

\int \limits _{X}\!g(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}\!g(x)\,{\frac {d\mu }{d\lambda }}(x)\,\lambda (dx).

Låt och . Sedan $\mu \ll \nu$ $\nu \ll \mu$

{\frac {d\mu }{d\nu }}=\vänster({\frac {d\nu }{d\mu }}\höger)^{{-1}}.

Låt vara laddningen . Sedan $\nu$

{d|\nu| \över d\mu }=\vänster|{d\nu \över d\mu }\höger|.

Variationer och generaliseringar

Ett liknande teorem är giltigt för avgifter , det vill säga åtgärder med alternerande tecken.

Anteckningar

↑ Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Element i funktionsteorin och funktionsanalys. Nummer II. Mått, Lebesgue-integral, Hilbert-rymd. - M., Moscow State University, 1960. - sid. 74-75

Differentialkalkyl

Main

privata vyer

Differentialoperatorer
( i olika koordinater )

Första beställning	Nabla-operatör Lutning Divergens Rotor Helmholtzian
andra beställning	Elliptisk operatör Laplace-operatör Laplace vektor operatör D'Alembert operatör Laplace-Beltrami operatör
högre order	Hypoelliptisk operatör

Relaterade ämnen