Riemanns sats om villkorligt konvergerande serier

Riemanns villkorligt konvergent seriesats är en sats i matematisk analys som säger att genom att omordna termerna i en godtycklig villkorligt konvergent serie kan man få ett godtyckligt värde. Detta faktum visar skillnaden mellan villkorad konvergens och absolut konvergens : om en serie konvergerar absolut, kommer den att konvergera till samma värde oavsett permutationen av dess element (se seriepermutationssatsen ).

Formulering

Låt en numerisk serie ges som konvergerar villkorligt , då för ett godtyckligt tal kan du ändra ordningen på elementen i serien på ett sådant sätt att summan av den nya serien blir lika med detta tal. Dessutom är det möjligt att omordna elementen i serien på ett sådant sätt att summan av serien tenderar till eller mot, eller inte alls tenderar till någon gräns, ändlig eller oändlig. $+\infty$ $-\infty$

Bevis

Låt oss göra en serie positiva delar av serien och beteckna den och beteckna elementen i serien . Följaktligen kommer en serie moduler av negativa element att betecknas med . Därför kan serien representeras som . Baserat på egenskaperna för den villkorligt konvergerande serien , och - divergera, och baserat på egenskaperna för resten av serien , alla rester och - divergera i var och en av dessa serier, från vilken plats som helst, kan du samla så många termer så att deras summa överstiger vilket antal som helst. Med detta kommer vi att ändra villkoren för serien . Låt oss först ta så många positiva medlemmar i serien (utan att ändra deras ordning) så att deras summa överstiger : . Bakom dem skriver vi så många negativa termer i serien (utan att ändra deras ordning) så att den totala summan är mindre än : . Denna process fortsätter mentalt i det oändliga. Därmed kommer alla medlemmar i serien att mötas i en ny serie. Om du varje gång du skriver ut termer och , skriver dem inte mer än vad som krävs för olikhet, kommer skillnaden mellan delsumman av den nya serien och modulo inte att överstiga den senast skrivna termen. Eftersom från egenskaperna för villkorligt konvergerande serier och konvergerar den nya serien till . ■ $A$ $P$ $P$ $P_{i}(i=1,...,\infty )$ $A$ $F$ $A$ $A=PQ$ $P$ $F$ $P$ $F$ $\Höger pil$ $A$ $S$ $p_{1}+p_{2}+...+p_{k}>S$ $S$ $p_{1}+p_{2}+...+p_{k}-q_{1}-q_{2}-...-q_{m}<S$ $A$ $sid$ $q$ $S$ $\lim _{k\to \infty }p_{k}=0$ $\lim _{m\to \infty }q_{m}=0$ $S$