Riemann-Rochs sats för ytor

Riemann-Roch-satsen för ytor beskriver dimensionen av linjära system på en algebraisk yta . I den klassiska formen formulerades satsen först av Castelnuovo [1] efter preliminära versioner av Max Noether [2] och Enriques [3] . Versionen när det gäller kärvar beror på Hirzebruch.

Uttalande av satsen

En form av Riemann-Roch-satsen säger att om D är en divisor av en icke-singular projektiv yta, då

\chi (D)=\chi (0)+{\tfrac {1}{2}}D.(DK)\,

där χ är den holomorfa Euler som är karakteristisk för , punktsymbolen är skärningsindexet för , och K är den kanoniska divisorn. Konstanten χ(0) är den holomorfa Euler-karakteristiken för trivialbunten och är lika med 1 + p a , där p a är ytans aritmetiska genus . Som jämförelse säger Riemann-Rochs sats för en kurva att . $\chi (D)=\chi (0)+grader(D)$

Noethers formel

Noethers formel säger det

\chi ={\frac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}={\frac {(KK)+e}{12}}

där χ=χ(0) är den holomorfa Euler-karaktäristiken, är Chern -talet och antalet självskärningar av den kanoniska klassen K och är den topologiska Euler-karakteristiken. Formeln kan användas för att ersätta termen χ(0) i Riemann-Rochs sats i topologiska termer. Detta ger Hirzebruch-Riemann-Roch-satsen för ytor. $c_{1}^{2}=(KK)$ $e=c_{2}$

Samband med Hirzebruch-Riemann-Roch-satsen

För ytor Hirzebruch-Riemann-Roch-satsen är i huvudsak Riemann-Roch-satsen för ytor kombinerat med Noethers formler. För att se detta, kom ihåg att det för varje divisor D på ytan finns en inverterbar skiva L = O( D ) så att det linjära systemet för divisorn D är mer eller mindre utrymmet för sektioner av L . För ytor är Todd-klassen , och Chern-karaktären på kärven L är helt enkelt . Således säger Hirzebruch-Riemann-Roch-satsen det $1+c_{1}(X)/2+(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X))/12$ $1+c_{1}(L)+c_{1}(L)^{2}/2$

{\begin{aligned}\chi (D)&=h^{0}(L)-h^{1}(L)+h^{2}(L)\\&={\frac { 1}{2}}c_{1}(L)^{2}+{\frac {1}{2}}c_{1}(L)\,c_{1}(X)+{\frac {1 }{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)\end{aligned}}

Lyckligtvis kan formeln skrivas om i en tydligare form enligt följande. Först av allt, inställning D = 0, får vi det

\chi (0)={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)

(Noethers formel)

För vändbara skivor (linbuntar) är den andra Chern-klassen noll. Produkterna från de andra kohomologiklasserna kan identifieras med skärningsnumren i Picardgruppen , och vi får en mer klassisk version av Riemann-Rochs sats för ytor:

\chi (D)=\chi (0)+{\frac {1}{2))(DD-DK)

Om så önskas kan vi använda Serre-dualitet för att uttrycka som , men till skillnad från i fallet med kurvor finns det i allmänhet inget enkelt sätt att skriva termen i en form som inte använder kärvekohomologi (även om den i praktiken ofta försvinner) . $h^{2}(\mathrm {O} (D))$ $h^{0}(\mathrm {O} (KD))$ $h^{1}(\mathrm {O} (D))$

Tidiga versioner

De tidigaste formerna av Riemann-Roch-satsen för ytor formulerades ofta som ojämlikheter snarare än likheter, eftersom det inte fanns någon direkt geometrisk beskrivning av första kohomologigrupper. Ett typiskt exempel på formuleringen gavs av Zariski [4] , som säger

r\geqslant n-\pi +p_{a}+1-i

var

r är dimensionen för det kompletta linjära systemet | D | divisor D (så ) $r=h^{0}(\mathrm {O} (D))-1$
n är den virtuella graden av divisor D , given av antalet självskärningar ( D . D )
π är det virtuella släktet för divisorn D , lika med 1 + (DD + KD)/2
p a — ytans aritmetiska genus $\chi (\mathrm {O} _{F})-1$
i är specificitetsindexet för divisorn D , lika med (vilket enligt Serra dualitet är lika med ). $dimH^{0}(\mathrm {O} (KD))$ $dimH^{2}(\mathrm {O} (D))$

Skillnaden mellan de två delarna av denna olikhet kallas redundansen s för divisorn D . Jämförelse av denna ojämlikhet med versionen av Riemann-Rochs sats med skivor visar att redundansen för divisorn D ges av likheten . Divisorn D kallades regelbunden om (eller, med andra ord, om alla högkohomologigrupper O( D ) försvinner) och redundant om . $s=dimH^{1}(\mathrm {O} (D))$ $i=s=0$ $s>0$

Anteckningar

↑ Castelnuovo, 1896 .
↑ Noether, 1875 .
↑ Enriques (1894)
↑ Zariski, 1995 , sid. 78.

Litteratur

Friedrich Hirzebruch. Topologiska metoder i algebraisk geometri. - Springer, 1978. - ISBN 3-540-03525-7 . - ISBN 0-387-03525-7 . — ISBN 3-540-58663-6 .
Oscar Zariski . Algebraiska ytor. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1995. - (Klassiker i matematik). — ISBN 978-3-540-58658-6 .
Castelnuovo G. Sulle superficie di genere zero // Mem. soc. Det delle Scienze. - 1896. - Vol. 3 , nr. 10 .
Max Noether. Zur Theorie der eindeutigen Entsprechungen algebraischer Gebilde // Math. Ann .. - 1875. - T. 8 , nr. 4 . — S. 495–533 . - doi : 10.1007/BF02106598 .