Vogts teorem

Vogts teorem fastställer samband mellan gränsvinklarna för en plan kurva med monotont föränderlig krökning ( spiralbåge ) som en funktion av ökande/minskande krökning.

Uppkallad efter den tyske matematikern Wolfgang Vogt ( Wolfgang Wilhelm Vogt , 1883-1916).

W. Vogts formulering

I den ursprungliga artikeln [1] (Satz 12) anges satsen enligt följande:

Låta och vara två på varandra följande skärningspunkter för en kurva med monoton krökning och en rät linje , och vara vinklarna mellan kordan och tangentstrålarna vid punkterna och som ligger på samma sida som bågen . Då är vinkeln större än, mindre än eller lika med, beroende på om krökningen ökar från till , minskar eller förblir konstant. $A$ $B$ $g$ $\alfa$ $\beta$ $AB$ $A$ $B$ $g$ ${\overset {\frown }{AB}}$ $\alfa$ $\beta$ $A$ $B$

I artikeln [1] (liksom i monografin [2] , sats 3-17) beaktas endast konvexa kurvor [3] med kontinuerlig krökning . Kravet på konvexitet innebär att krökningen är av konstant tecken (frånvaro av en böjningspunkt på kurvan). Faktum är att i denna formulering talar vi om de absoluta värdena för krökning och vinklar . Andra bevis för denna sats under samma antaganden ges i artiklarna [4] , [5] , [6] . $k(s)$ $|k(s)|$ $|\alpha |,\,|\beta |$

Teoremet illustreras av den vänstra kolumnen i figur 1.

Ändrad uttalande av satsen

Modifierad version av Vogts sats (se [7] , sats 1)

betraktar vinklar och som orienterade, mätt med avseende på kordans riktning ; $\alfa$ $\beta$ $\overrightarrow {AB}$
formuleras med hänsyn till det naturliga tecknet på krökning (i betydelsen var är lutningsvinkeln för tangenten till kurvan); $k(s)={\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} s)),$ $\tau(s)$
kräver inte kontinuitet och konstant krökning;
sträcker sig inte bara till konvexa spiralbågar, utan också till alla korta spiraler - de som inte vrider sig runt ändpunkterna, det vill säga inte skär komplementet av ett ackord till en oändlig linje (även om de kan skära själva ackordet, som kurvan i fig. 1). $A_{6}B_{6}$

Formulering:

Låt vara krökningen av den korta spiralen vid startpunkten , vara dess krökning vid slutpunkten . Sedan $k_{1}$ ${\overset {\frown }{AB}}$ $A$ $k_{2}$ $B$

\operatörsnamn {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operatörsnamn {sgn}(\alpha +\beta ),\qquad \qquad (1)

eller, mer specifikt, för fall av ökande och minskande krökning,

{\begin{array}{llcc}{\text{if}}\quad k_{1}<k_{2}{:}\quad &\alpha {+}\beta >0,\quad &- \pi <\alpha \leq \pi ,\;&-\pi <\beta \leq \pi ;\\{\text{if}}\quad k_{1}>k_{2}{:}\quad & \alpha {+}\beta <0,\quad &-\pi \leq \alpha <\pi ,\;&-\pi \leq \beta <\pi .\end{array}}\qquad \qquad (2 )

Den högra kolumnen i figur 1 illustrerar en modifierad version av Vogts teorem (för fallet med minskande krökning). Till exempel, kurvorna i fig. 1 är lika och har en negativ avtagande krökning: . Vogts ojämlikheter innebär att, med hänsyn till tecknen på krökningar och orienterade vinklar, medel eller i enlighet med (1). $A_{1}B_{1}$ ${\displaystyle A_{4}B_{4))$ ${\displaystyle 0>k_{1}>k_{2))$ $k_{1}<k_{2}\;\Högerpil \;\alpha >\beta ,$ $|k_{1}|<|k_{2}|\;\Högerpil \;|\alpha |>|\beta |,$ ${-k_{1}}<{-k_{2}}\;\Högerpil \;\alpha >{-\beta },$ $k_{1}>k_{2}\;\Högerpil \;\alpha +\beta <0,$

Genom att reflektera kurvorna 4-7 symmetriskt med avseende på ackordet (vilket innebär en förändring av tecknen på y ), får vi exempel med ökande krökning. $k_{1},k_{2},\alpha ,\beta$

Den geometriska betydelsen av summan $\alfa +\beta$

Låt en punkt röra sig längs en kort spiral från till För varje position av den rörliga punkten konstruerar vi en cirkelbåge (Fig. 2). Lutningsvinkeln för tangenten till denna båge vid punkten betecknas med . ${\overset {\frown }{AB}}$ $A$ $b.$ $P(s)$ ${\overset {\frown }{APB}}$ $A$ $\varphi (s)$

Funktionen är strikt monoton; $\varphi (s)$ $\lim \limits _{P\to A}\varphi (s)=\alpha ,$ $\lim \limits _{P\to B}\varphi (s)=-\beta .$
Bågsvepa _ ${\overset {\frown }{APB}}$ lins - ett område som begränsas av två cirkulära bågar baserade på ett korda , varav en har en gemensam tangent med spiralen vid punkten , den andra - vid punkten $AB$ $A$ $b.$
Vilken kort spiral som helst med gränsvinklar och är innesluten inuti linsen (sats 2 i [7] ). $\alfa$ $\beta$
Summan är lika i absolut värde med linsens vinkelbredd, och dess tecken motsvarar ökningen / minskningen av krökningen. $\sigma =\alpha +\beta$ ${\displaystyle {}^{(+)))$ ${\displaystyle {}^{(-)))$

Generalisering av satsen

En ytterligare generalisering av Vogts teorem gäller godtyckligt vridna spiraler, för vilka vinklar omdefinieras i en kumulativ mening, som "vinklar som minns sin historia." $\alpha ,\,\beta$

Betrakta på en spiral av längd en punkt som rör sig från till . För en tillräckligt liten ( kort ) båge är värdena på gränsvinklarna och mätta i förhållande till riktningen för det rörliga kordan nära noll, och när punkten rör sig bort från dem kan de nå värden ${\overset {\frown }{AB}}$ $S$ $P(s)$ $A=P(0)$ $B=P(S)$ ${\overset {\frown }{AP}}(s)$ $\alpha (s)$ $\beta (s)$ ${\overrightarrow {AP}}(s),$ $P$ $A$ $\pm \pi .$ $\alpha (s)$ $\beta (s)$ $\pi.$

{\widetilde {\alpha }}=\alpha (S),\quad {\widetilde {\beta }}=\beta (S).

Så, i fig. 3 vinkeln når värdet när punkten når positionen , varefter . $\beta (s)$ $+\pi$ $P(s)$ $P_8$ $\beta (s)>\pi$

Papperet [8] (sats 1) visar att summan är en monoton funktion av båglängden, som ökar eller minskar som krökningen . Funktionen är strikt monoton , förutom den initiala delen av konstant krökning (om någon), inom vilken formuleringen (1) alltså sträcker sig till långa spiraler i formen $\sigma (s)=\alpha (s)+\beta (s)$ $k(s)$ $\sigma (s)$ $\sigma (s)\equiv 0.$

\operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operatörsnamn {sgn}({\widetilde {\alpha }}+{\widetilde {\beta }}).

Relaterade uttalanden [8] :

I spiralens linjär-fraktionerade visning bevaras värdet . $\sigma$
Variationen i spiralens rotation begränsas av ojämlikheter och förblir inom dessa gränser när spiralen inverteras. $|\sigma |<\mathrm {Var} \,\tau (s)<|\sigma |+2\pi$

Omvänd sats

Som ett uttalande omvänt till Vogts sats formulerar A. Ostrovsky villkor som tillåter existensen av en (konvex) spiralbåge med givna gränsvinklar [6] . I den "orienterade" versionen tar de formen av ojämlikheter (2).

I [2] (sats 3-18) formuleras förstärkta villkor för det fall då, utöver vinklarna, värdena för krökningsradier ges.

I [7] (sats 3) utvidgas dessa villkor till korta (och inte bara konvexa) spiraler: För existensen av en kort spiral annan än en bideg , med gränsvinklar och krökningar , är det nödvändigt och tillräckligt för att uppfylla villkor ( 2) och ojämlikheten , var ${\overset {\frown }{AB)),$ $\alpha ,\;\beta$ ${\displaystyle k_{1},\;k_{2))$ $Q<0$

Q=(k_{1}c+\sin \alpha )(k_{2}c-\sin \beta )+\sin ^{2}{\frac {\alpha {+}\beta }{2} },\quad c={\frac {1}{2}}|AB|\,.\qquad \qquad (3)

Om spiralen är en bidug , då $Q=0\,.$

Förklaring och exempel på konstruktion

Låt och vara gränscirklarna för krökning av spiralbågen , vara deras skärningsvinkel. Då gör ojämlikheten att vinkeln är rent imaginär. Detta kan i sin tur tolkas enligt följande: cirklarna och har inte gemensamma punkter och är placerade på ett sådant sätt att när de närmar sig kommer deras skärningspunkt att föregås av en beröring - sammanträffandet av orienterade tangenter vid en gemensam punkt. ${\mathcal {K}}_{A}$ ${\mathcal {K}}_{B}$ $AB$ $\psi$ $Q=\sin ^{2}{\frac {\psi }{2)),$ $Q<0$ $\psi$ ${\mathcal {K}}_{A}$ ${\mathcal {K}}_{B}$

Olikheten gäller för alla par gröna cirklar i fig. 4. Genom att godtyckligt välja startpunkten på en av dem och slutpunkten på den andra kan du bygga en spiralbåge, för vilken cirklarna kommer att vara gränscirklarna för krökning. Ett exempel på en sådan konstruktion visas i ett fragment av figur 4 med en streckad linje ( ). $Q<0$ $A$ $B$ ${\mathcal {K}}_{A}$ ${\mathcal {K}}_{B}$ $Q=-0,88$ $|AB|=2c=2,$ $\alpha \approx -78.34^{\circ },$ $k_{1}\approx 1.73,$ $\beta \approx -38.34^{\circ },$ $k_{2}\approx -2,76$

Alla två blå cirklar är tangent, och för dem För punkterna och valda på fragmentet , är den enda möjliga spiralbågen en bidug (avbildad med prickar) och sammanfaller med cirklarna och . $Q=0\;(\psi =0).$ $Q=0$ $A$ $B$ $AB$ ${\mathcal {K}}_{A}$ ${\mathcal {K}}_{B}$

För vilket par som helst av korsande (bruna) cirklar är det omöjligt att bygga en spiral med sådana krökningscirklar. Det är också omöjligt för par av röda cirklar : de har antingen ( , "motberöring") eller $Q=1$ $\psi =\pm\pi$ $Q>1.$

Värdet (3) beror inte på valet av punkter och på cirklar och kan uttryckas till exempel i termer av deras krökningar och avstånd från centrum till centrum : $F$ $A$ $B$ $L$

k_{1}k_{2}\neq 0\quad \Longrightarrow \quad Q={\frac {(k_{1}k_{2}L)^{2}-(k_{2}{-} k_{1})^{2}}{4k_{1}k_{2}}}.

Problemet med att konstruera en spiralbåge med givna randvillkor i ändarna har diskuterats aktivt i CAD- tillämpningar under de senaste decennierna (se t.ex. artiklarna [9] och [10] ).

Länkar och anteckningar

↑ 1 2 Vogt W. Über monotongekrümmte Kurven // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1914. - Nr 144 . - S. 239-248 .
↑ 1 2 Guggenheimer HW Differentialgeometri. - New York: Dover Publications, 1977. - P. 48. - ISBN 0-486-63433-7 .
↑ ... det vill säga så att bågen och dess ackord bildar en konvex figur .
↑ Katsuura S. Ein neuer Beweis des Vogtschen Satzes // Tohoku Mathematical Journal . - 1940. - T. 47 . - S. 94-95 .
↑ Hirano K. Enkla bevis på Vogts teorem // Tohoku Mathematical Journal . - 1940. - T. 47 . - S. 126-128 .
↑ 1 2 Ostrowski A. Über die Verbindbarkeit von Linien- und Krümmungselementen dürch monoton gekrümmte Kurvebogen // Enseignement Math., Ser.2. - 1956. - Nr 2 . - S. 277-292 .
↑ 1 2 3 Kurnosenko A.I. Korta spiraler // Anteckningar från vetenskapliga seminarier POMI. - 2009. - S. 34-43 . [ett]
↑ 1 2 Kurnosenko A.I. Långa spiraler // Notes of Scientific Seminars POMI. - 2009. - S. 44-52 . [2]
↑ Goodman TNT, Meek DS, Walton DJ En involut spiral som matchar G2 Hermite-data i planet // Computer Aided Geometric Design. - 2009. - Vol. 26 , nr. 7 . - s. 733-756 . - doi : 10.1016/j.cagd.2009.03.009 . Arkiverad från originalet den 5 september 2019.
↑ Kurnosenko AI Tvåpunkts G2 Hermite interpolation med spiraler genom inversion av hyperbel // Computer Aided Geometric Design. - 2010. - Vol. 27 , nr. 6 . - s. 474-481 . - doi : 10.1016/j.cagd.2010.03.001 . Arkiverad från originalet den 5 september 2019.

Se även

Spiral: definitioner baserade på krökningens monotonitet .
Biduga .