Biduga

En biduga är en slät plan kurva som består av två cirkelbågar mindre än en hel cirkel. En av bågarna kan vara ett rakt linjesegment. Biarcs föreslogs [1] för geometrisk modellering (konstruktion, approximation ) av kurvor med givna gränspunkter och tangenter i dem. I klassen biarcs har detta problem en hel familj av lösningar och kräver ytterligare förutsättningar för att hitta specifika kurvor. Dessa kan vara att ställa in krökningen eller rotationen av en av bågarna, en fast längd på kurvan [2] , kravet på att minimera krökningshoppet vid kopplingspunkten, etc.

För en bi-båge är krökningens beroende av bågens längd monotont (eftersom den består av två konstanta sektioner), så bid-bågen är den enklaste spiralen [3] . $k(s)$

Exempel på bidugs

På fig. 1 visar sex bidugs . Punkterna och är start- och slutpunkterna för kurvan, (join) är punkten för jämn konjugering av två bågar. $AJB$ $A$ $B$ $J$

Exempel 1-4 illustrerar korta biarcs: de skär inte komplementet av ett ackord till en oändlig linje, även om de kan skära själva ackordet (biarc 1). Vanligtvis är det dessa kurvor som är föremål för approximation.

Exemplen 5 och 6 illustrerar långa biarcs: de skär ackordets komplement, det vill säga de vrider sig runt en av ändpunkterna.

För kurvorna 1, 2 och 6 är punkten en böjningspunkt: vid den ändrar krökningen tecken (- till + för kurvorna 1, 2 och + till - för kurva 6). $J$

Kurvorna placeras i ett kordkoordinatsystem av längd , där koordinaterna för start- och slutpunkterna är lika . $\overrightarrow {AB}$ $\;2c=|AB|$ $A=(-c,0),\;\;B=(c,0)$

Tangenternas orienterade lutningar vid punkterna och , mätt i förhållande till ackordets riktning , betecknas med och . Så för bidugi 1 i fig. 1 , och för bidugs 2-6 - . $A$ $B$ $\overrightarrow {AB}$ $\alfa$ $\beta$ $\;\alpha >0,\;\beta >0$ $\;\alpha >0,\;\beta <0$

Beskrivning av bidugfamiljen

Gränstangensvektorer för kurvorna 2-6 i Fig. 1 är desamma: Dessa kurvor är medlemmar av en enparameterfamilj av bibågar med gemensamma tangenter i ändarna. Hela familjen visas i det nedre fragmentet av figur 2. $\alpha =100^{\circ },\quad \beta =-30^{\circ }.$

Vidare ges huvudegenskaperna för familjen av bibågar med gemensamma tangenter i ändarna baserat på materialen i artikeln [4] . Familjeparametern betecknas med . Beteckningen av biarc i formen innebär att konstanterna fixeras, det vill säga . $sid$ ${\mathcal {B}}(p)$ ${\mathcal {B}}(p;\,\alpha ,\beta ,c)$

Figurerna 2, 3, 4 illustrerar sådana familjer för olika par $\{\alpha ,\beta \}.$

Relationer för vinklar och krökningar

Vinklar och anses vara definierade i intervallet : , . Konstruktionen av en bidug är möjlig med $\alfa$ $\beta$ $[-\pi ;\,\pi ]$ $-\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi$ $-\pi \leqslant \beta \leqslant \pi$

\qquad 0<|\alpha +\beta |<2\pi .\qquad (1)

Låt oss presentera notationen

\omega ={\frac {\alpha +\beta }{2)),\quad \gamma ={\frac {\alpha -\beta }{2))

Ojämlikheter (1) betyder att . $\;\sin \omega \not =0$

Krökningen av den första bågen och krökningen av den andra bågen uttrycks som funktioner av familjeparametern med följande formler: $k_{1}$ $(AJ)$ $k_{2}$ $(JB)$

k_{1}(p)={\frac {1}{c}}\left(-\sin \alpha -{\frac {\sin \omega }{p}}\right),\quad k_ {2}(p)={\frac {1}{c}}\left(\sin \beta +p\sin \omega \right).

Låta

$\theta _{1}$ och - bågens rotation och längd : ; $L_{1}$ $AJ$ ${\displaystyle \theta _{1}=k_{1}L_{1))$
$\theta _{2}$ och - bågens rotation och längd : . $L_{2}$ $JB$ $\theta _{2}=k_{2}L_{2}$

Jämställdhet är rättvis

\theta _{1}(p)=2\arg \left(\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \alpha }+p^{-1}{\mathrm {e} ^{ -\mathrm {i} \omega }}\right),\quad \theta _{2}(p)=2\arg \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \beta }+p\ ,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega }\right).

Platsen för konjugationspunkter

Kopplingspunkterna för två bågar är placerade på en cirkel $J$

X_{J}(p)={\frac {c(p^{2}-1)}{p^{2}+2p\cos \gamma +1)),\quad Y_{J}( p)={\frac {2cp\sin \gamma }{p^{2}+2p\cos \gamma +1)),\quad -\infty \leqslant p\leqslant \infty .\qquad (2)

Denna cirkel lämnar punkten i en vinkel och passerar genom punkten When (det vill säga när ) är en rät linje (Fig. 3). Biarcs av familjen skär denna cirkel i en konstant vinkel . $A$ $\gamma$ $b.$ $\gamma =0$ $\alpha =\beta$ $AB$ $-\omega$

Vektorn för tangenten till bi-bågen vid konjugationspunkten är , där $||\cos \tau _{{}_{J)),\,\sin \tau _{{}_{J}}||$

\tau _{{}_{J}}(p)={-2}\operatörsnamn {arctg} {\dfrac {p\sin {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\ frac {\beta }{2}}}{p\cos {\frac {\alpha }{2}}+\cos {\frac {\beta }{2}}}}.

En dubbelbåge med ett minimalt krökningshopp vid konjugationspunkten realiseras när punkten ligger på y-axeln $\min \left|k_{2}(p)-k_{1}(p)\right|,$ $p=\pm 1;$ $J$ $(X_{J}=0).$

Degenererade bidugs

I familjen biarcs kan följande degenererade biarcs urskiljas .

Bi-båge : när konjugationspunkten för bi-bågen tenderar till punkten försvinner delen och förvandlas till en oändlig krökningsmomentum . Biarc urartar till en cirkelbåge baserad på ackordet och har en gemensam tangent i ändpunkten med biarcs i familjen. ${\mathcal {B}}(0)$ $p\to 0$ $J(p)$ $AJB$ $A$ $AJ$ $AB$
Biduga : aspiration lockar , en del försvinner. Biarcen urartar till en cirkelbåge baserad på ett ackord och har en gemensam tangent i utgångspunkten med familjens biarcs. ${\mathcal {B}}(\infty )$ $p\to \infty$ $J(p)\to B$ $JB$ $AB$
Biduga , var ${\mathcal {B}}(p^{\ast })$ $\qquad p^{\ast }=\left\{{\begin{array}{lll}-{\dfrac {\sin \omega }{\sin \alpha )),\quad &{\text{ if))\;|\alpha |\geqslant |\beta |\quad (-\infty ,\;{\text{at))\;|\alpha |=\pi ),\\-{\dfrac {\ sin \beta }{\sin \omega )),\quad &{\text{if}}\;|\alpha |\leqslant |\beta |\quad (\;0,\;\;\;{\text {at}}\;|\beta |=\pi ),\end{array}}\right.$ är en diskontinuerlig dubbelbåge som passerar genom en oändligt avlägsen punkt i planet. Alltid och ojämlikheter (1) utesluter den samtidiga jämlikheten . I figurerna 2, 3 visas diskontinuerliga bidugs med en röd streckad linje. $p^{\ast }\leqslant 0$ $|\alpha |=|\beta |=\pi$

Med hänsyn till dessa tre degenererade biarc , passerar den enda biarc genom någon punkt i planet med punkterade poler $A$ $B$ ${\mathcal {B}}(p)$ . En biarc passerar nämligen genom punkten med parametern $(x,y)$

\qquad p(x,y)=\left\{{\begin{array}{ll}-{\dfrac {[(x+c)^{2}+y^{2}]\sin \ omega }{(c^{2}-x^{2}-y^{2})\sin \alpha -2cy\cos \alpha }},\quad &{\text{if}}\quad \omega \ ,C(x,y)\leqslant 0,\\-{\dfrac {(c^{2}-x^{2}-y^{2})\sin \beta +2cy\cos \beta }{[ (xc)^{2}+y^{2}]\sin \omega }},\quad &{\text{if}}\quad \omega \,C(x,y)\geqslant 0,\end{ array}}\höger.

var . $\;C(x,y)=(c^{2}-x^{2}-y^{2})\sin \gamma -2cy\cos \gamma$

Familjestruktur

I familjen biarcs särskiljer vi, beroende på parameterns värde, följande underfamiljer av icke-degenererade biarcs: ${\mathcal {B}}(p;\,\alpha ,\beta ,c)$ $p,$

{\begin{array}{l}{\mathcal {B}}^{\,+}(p){:}\quad p\in (0;\infty );\\{\mathcal {B } ))_{1}^{\,-}(p){:}\quad p\in (p^{\ast};0);\\{\mathcal {B))_{2}^{ \ ,-}(p){:}\quad p\in (-\infty ;p^{\ast });\\{\mathcal {B}}^{\,-}(p)={\mathcal { B))_{1}^{\,-}(p)\cup {\mathcal {B))_{2}^{\,-}(p)\end{array))

(i [4] , Fastighet 2 benämns underfamiljerna och respektive huvudunderfamilj respektive komplementär underfamilj ). ${\mathcal {B}}^{\,+}$ ${\mathcal {B}}^{\,-}$

I figurerna 2, 3, 4 visas bidugs som tillhör underfamiljerna och visas i brunt, blått respektive grönt . $\color {sienna}{\mathcal {B}}^{\,+}$ $\color {blå}{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}$ $\color {grön}{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}$

Underfamiljens bidugs är korta. Deras krökning ökar antingen (om ) eller minskar (om ): ${\mathcal {B}}^{\,+}$ $\omega >0$ $\omega <0$

$\operatörsnamn {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operatörsnamn {sgn} \omega =\operatörsnamn {sgn}(\alpha +\beta )$ ( V.Vogts sats för korta spiraler ).

De finns i linsen , ett område som begränsas av degenererade biarcs och (linsens region är skuggad i figurerna). Linsens vinkelbredd (signerad) är . GMT (2) är linsens bisektor . ${\mathcal {B}}(0)$ ${\mathcal {B}}(\infty )$ $\alpha +\beta =2\omega$

Biarcs av underfamiljen har den motsatta (med avseende på ) karaktären av monotoniteten av krökning. Om och , då är bidugerna för denna underfamilj långa. Den diskontinuerliga bidugen skiljer underfamiljernas bidugs från varandra . ${\mathcal {B}}^{\,-}$ ${\mathcal {B}}^{\,+}$
$|\alpha |\not =\pi$ $|\beta |\not =\pi$ $\color {röd}{\mathcal {B}}(p^{\ast })$ ${\mathcal {B}}_{{\color {blue}1},{\color {green}2}}^{\,-}$

Underfamiljen är tom om ${\mathcal {B}}_{1}^{\,-}$ $p^{\ast }=0$ $(|\beta |=\pi ).$

Underfamiljen är tom om ${\mathcal {B}}_{2}^{\,-}$ $p^{\ast }=-\infty$ $(|\alpha |=\pi ).$

Omdefiniering av gränsvinklar i en kumulativ mening . Integration av den naturliga biarc-ekvationen ger en kontinuerlig (styckvis linjär) funktion - lutningsvinkeln för tangenten till kurvan. Med denna definition, kontinuerlig , kan dess värden gå längre än , och värdena i ändarna kan skilja sig från . Låt oss definiera, tillsammans med , de kumulativa versionerna av gränsvinklarna i formstrålen ; korrigeringen av vinkeln görs om bi-bågen roterar runt punkten (korsar ackordets högra komplement till en oändlig linje): $\tau(s)$ $\pm \pi$ $\alpha ,\beta$ $\pm 2\pi .$ $\alpha ,\beta$ ${\widetilde {\alpha )),{\widetilde {\beta ))$ $\tau(s).$ $\alfa$ $A,$ $\{x<-c,\,y=0\}$ $\beta$ $B$

i underfamiljen : ; ${\mathcal {B}}^{\,+}$ ${\widetilde {\alpha }}=\alpha ,\qquad \qquad \quad {\widetilde {\beta }}=\beta$
i underfamiljen : ; ${\mathcal {B}}_{1}^{\,-}$ ${\widetilde {\alpha }}=\alpha -2\pi \operatörsnamn {sgn} \omega ,\;{\widetilde {\beta }}=\beta$
i underfamiljen : . ${\mathcal {B}}_{2}^{\,-}$ ${\widetilde {\alpha }}=\alpha ,\qquad \qquad \quad {\widetilde {\beta }}=\beta -2\pi \operatörsnamn {sgn} \omega$

Då är hela varvet av bi-bågen lika med ${\mathcal {B}}(p)$

\theta _{1}(p)+\theta _{2}(p)={\widetilde {\beta }}-{\widetilde {\alpha )),

och ökningen/minskningen i krökning motsvarar jämställdheten

\operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operatörsnamn {sgn}({\widetilde {\alpha }}+{\widetilde {\beta }}).

Så för biarcs med ökande krökning, , har vi: ${\displaystyle k_{2}>k_{1))$

{\widetilde {\alpha }}>-\pi ,\quad {\widetilde {\beta }}>-\pi ,\quad 0<{\widetilde {\alpha }}+{\widetilde {\beta }}<2\pi .

Länkar

↑ Bolton, KM Biarc-kurvor // Computer-Aided Design. - 1975. - Vol. 7 . - S. 89-92 . - doi : 10.1016/0010-4485(75)90086-X .
↑ Sabitov I.Kh. , Slovesnov A.V. Approximation av plankurvor med cirkulära bågar // Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics . - 2010. - T. 50 , nr 8 . - S. 1347-1356 .
↑ Kurnosenko A.I. Allmänna egenskaper hos plana spiralkurvor // Notes of Scientific Seminars POMI . - 2009. - T. 353 . - S. 93-115 . — ISSN 0373-2703 . [ett]
↑ 1 2 Kurnosenko, AI Biarcs and bilens (engelska) // Computer Aided Geometric Design. - 2013. - Vol. 30 , nej. 3 . - S. 310-330 . - doi : 10.1016/j.cagd.2012.12.002 . [2]

Litteratur

Nutbourne, A.W.; Martin, R. R. Differentialgeometri tillämpad på kurv- och ytdesign. Vol.1: Foundations (engelska) . - Ellis Horwood, 1988. - ISBN 013211822X .

Se även

Vogts teorem