Hellys teorem

Hellys teorem är ett klassiskt resultat av kombinatorisk geometri och konvex analys . Teoremet ger ett villkor om en familj av konvexa mängder som garanterar att denna familj har en icke-tom skärningspunkt.

Formuleringar

Finita familjer

Låt oss låtsas som det

X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}

är en ändlig familj av konvexa delmängder av det euklidiska rummet så att skärningspunkten för någon av dem är icke-tom. $\mathbb {R} ^{d}$ $d+1$

Då är skärningspunkten för alla delmängder från denna familj icke-tom, det vill säga

\bigcap _{j=1}^{n}X_{j}\neq \emptyset

. [ett]

Oändliga familjer

För oändliga familjer måste vi dessutom kräva kompakthet:

Låt det finnas en godtycklig familj av konvexa kompakta delmängder så att skärningspunkten mellan någon av dem inte är tom. Då är skärningspunkten för alla delmängder från denna familj icke-tom. $\{X_{\alpha }}\}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d))$ $d+1$

Konsekvenser

Youngs teorem: Låt det finnas en ändlig uppsättning punkter i det dimensionella euklidiska rymden så att alla punkter från kan täckas av enhetsbollen. Sedan kan hela setet täckas av enhetskulan. $S$ $d$ $\mathbb {R} ^{d}$ $d+1$ $S$ $S$
Youngs radie: Låt vara en uppsättning punkter i -dimensionell euklidiska rymden , med diameter . Sedan finns det en dimensionell sluten boll med radie så att . Om uppsättningen inte tillhör någon mindre boll, så innehåller den hörn - en simplex med varje kantlängd . [2] $X$ $d$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d))$ $\mathrm {diam} \,X\leqslant 2$ $d$ $B^{d}(r)$ $r={\sqrt {2d/(d+1)))$ $X\subset B^{d}(r)$ $X$ $X$ $d$ $2$
Kirschbrowns teorem

Variationer och generaliseringar

Låta vara ett Hilbert-utrymme (inte nödvändigtvis separerbart ) och vara en familj av slutna avgränsade konvexa delmängder av . Om skärningspunkten för en godtycklig ändlig underfamilj inte är tom så är den också icke-tom. $H$ $X_{\alpha }$ $H$ $X_{\alpha }$ ${\displaystyle \cap _{\alpha }X_{\alpha ))$

Historik

Teoremet bevisades av Eduard Helly 1913, om vilket han berättade för Radon , han publicerade det först 1923 [3] , efter publikationerna av Radon [4] och König [5] .

Se även

Anteckningar

↑ Shikin E. V. Linjära utrymmen och avbildningar. - M., Moscow State University , 1987. - sid. 177
↑ Shikin E. V. Linjära utrymmen och avbildningar. - M., Moscow State University , 1987. - sid. 293
↑ E. Helly Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten (otillgänglig länk) , - Jber. Deutsch. Matematik. Verinig. 32 (1923), 175-176.
↑ J. Radon Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten (otillgänglig länk) , - Math. Ann. 83 (1921), 113-115.
↑ D. König Über konvexe Körper, - Math. Z. 14 (1922), 208-220.

Litteratur

Danzer L., Grünbaum B. , Klee W. Hellys sats och dess tillämpningar. - M . : Mir, 1968. - 159 sid.