Challs sats om klassificering av rörelser

Challs teorem klassificerar alla isometriska transformationer (rörelser) av planet.

Uppkallad efter Michel Chall . Vissa andra påståenden inom fysiken kallas också Shalls sats .

Formuleringar

Plane

Någon orientering -bevarande rörelse av planet är antingen en rotation (i synnerhet en central symmetri , såväl som en identitetskartläggning ) eller en parallell translation .

Varje orienteringsförändrande rörelse av ett plan är en axiell eller glidande symmetri .

Space

Varje orienteringsbevarande rörelse av rymden är en glidsväng .

Varje orienteringsförändrande rörelse av rymden är en sammansättning av spegelsymmetri och glidande rotation.

Bevis

Huvudtankarna med beviset:

Varje rörelse definieras unikt av tre olika punkter och deras bilder.
Varje rörelse kan representeras som en sammansättning av högst tre axiella symmetrier .
Uppräkning av alternativ: rörelse kan representeras som en sammansättning av en, två eller tre axiella symmetrier.

Lemma av tre spikar

Varje rörelse definieras unikt av tre icke-liggande punkter och deras bilder. Med andra ord, för alla icke-linjära punkter och deras bilder finns det en unik rörelse $A,B,C$ $A',B',C'$ $f:A\mapsto A',B\mapsto B',C\mapsto C'$

Bevis

Ta vilken punkt som helst och dess bild . - rörelse, vilket betyder ; från vilken det följer som ligger på en cirkel med centrum vid och radie . $D\neq A,B,C$ $D'$ $f$ $AD=A'D'$ $D'$ $A'$ $AD$

Ett liknande argument för punkter och visar som också ligger på en cirkel med centrum vid och radie och på en cirkel med centrum vid och radie . $B$ $C$ $D'$ $B'$ $BD$ $C'$ $CD$

Eftersom tre cirklar vars centrum inte ligger på en rät linje bara kan skära varandra vid en punkt, finns det en unik bild för vilken punkt som helst . Detta påstående är ekvivalent med rörelsens unika karaktär. $D'$ $D$

Lemma om tre symmetrier

Varje rörelse kan representeras som en sammansättning av högst tre axiella symmetrier . Med andra ord kan varje rörelse representeras antingen som eller som eller som . $f$ ${\displaystyle S_{l))$ $S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}$ $S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{3}}$

Bevis

Låt oss ta en godtycklig rörelse och peka med deras bilder . Om vi bevisar att för det finns en sammansättning av symmetrier som motsvarar , då av de tre spikarna lemma i det allmänna fallet. $f$ $A,B,C$ $A',B',C'$ $A,B,C$ $g$ $f$ $f = g$

Observera att , sedan och $S_{l_{i}}\circ \cdots \circ S_{l_{1}}\circ f=Id\Leftrightarrow f=S_{l_{1}}\circ \cdots \circ S_{l_{i }}$ $S_{l}^{-1}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}S_{l}$ $(f\circ g)^{-1}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}g^{-1}\circ f^{-1}$

Låt oss hitta en representation i form av en sammansättning av axiella symmetrier: $f$

Betrakta en symmetri sådan att . Med en sådan symmetri kommer en punkt antingen att gå till någon ny punkt eller tillbaka till . Punkten kommer på liknande sätt att gå antingen till vissa eller tillbaka till . Om och återvände till och , då , var är den identiska omvandlingen av . I så fall . $S_{l_{1))$ $A\mapsto A'$ $B$ $B'_{1}$ $B'$ $C$ $C'_1$ $C'$ $B$ $C$ $B'$ $C'$ $S_{l_{1}}\circ f=Id$ $ID$ $f=S_{l_{1}}$
Nu, om poängen är , överväg då en symmetri sådan att . Observera att är den vinkelräta bisektrisen till segmentet , per definition av axiell symmetri. ${\displaystyle B\mapsto B'_{1))$ $S_{l_{2))$ $B'_{1}\mapsto B'$ $l_{2}$ $B'B'_{1}$

$f$ , är rörelser, och därmed . Därför ligger på den vinkelräta bisektrisen till segmentet (genom egenskapen av den vinkelräta bisektrisen), det vill säga på linjen . Av detta följer att vid omvandling - . Om , då på samma sätt , det vill säga när kommer att gå till . Annars betyder det att det återigen kommer att gå över antingen till vissa eller till . Totalt, om eller vid ; eller på , då . Detta betyder att . $S_{l_{1))$ $AB{\overset {\underset {\mathrm {f} }{}}{=}}A'B'~{\text{u}}~AB{\overset {\underset {\mathrm {S_{ l_{1}}} }{}}{=}}A'B'_{1}$ $A'$ $B'B'_{1}$ $l_{2}$ $S_{l_{2))$ $A'\mapsto A'$ $C'\mapsto C$ $CB=^{f}C'B'=^{S_{l_{1}}}CB'_{1}$ $S_{l_{2))$ $C$ $C'$ ${\displaystyle C\mapsto C'_{1))$ $C'_1$ $C'_2$ $C'$ $C'_{1}\mapsto C'$ $S_{l_{2))$ $C\mapsto C'$ $S_{l_{1))$ $S_{l_{2}}\circ S_{l_{1}}\circ f=Id$ $f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}$

Om , överväg en symmetri sådan att . ${\displaystyle C\mapsto C'_{1}\mapsto C'_{2))$ $S_{l_{3))$ $C'_{2}\mapsto C'$

Uppenbarligen är den vinkelräta bisektrisen till segmentet . , , är rörelser och därmed . Därför tillhör den vinkelräta bisektrisen till segmentet , det vill säga . Det betyder att det översätts till . Om , då på liknande sätt . Annars ligger därför också på . Detta betyder att översätts till . Därför, , vilket betyder . $l_3$ $C'C'_{2}$ $f$ $S_{l_{1))$ $S_{l_{2))$ $AC{\overset {\underset {\mathrm {f} }{}}{=}}A'C'{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{1}}} }{}} {=}}A'C'_{1}{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{2}}} }{}}{=}}A'C'_{2}$ $A'$ $C'C'_{2}$ $l_3$ $S_{l_{3))$ $A'$ $A'$ $B\mapsto B'$ $B'\in l_{3}$ $B\mapsto B'_{1}\mapsto B'$ $BC{\overset {\underset {\mathrm {f} }{}}{=}}B'C'{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{1}}} }{}} {=}}B'_{1}C'_{1}{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{2}}} }{}}{=}}B'C'_{2}$ $B'$ $l_3$ $S_{l_{3))$ $B'$ $B'$ $S_{l_{3}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{1}}\circ f=Id$ $f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{3}}$

Lista över alternativ

Nu kan varje given rörelse representeras som en sammansättning av högst tre symmetrier med lemma av tre symmetrier . $f$

Vi klassificerar den resulterande jämlikheten och klassificerar därigenom varje given rörelse:

Om , då är axiell symmetri . ${\displaystyle f=S_{l))$ $f$
Om , då är antingen och sedan en parallell translation , eller och då är en rotation . $f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}$ ${\displaystyle l_{1}\parallel l_{2))$ $f$ ${\displaystyle l_{1}\nparallell l_{2))$ $f$
Annars, och sedan - glidsymmetri (enligt egenskapen glidsymmetri). $f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{3}}$ $f$

Applikationer

Hjelmslevs medelmedelsats

Källor

Valbar kurs i matematik. 7-9 / Jämf. I. L. Nikolskaya. - M . : Education , 1991. - S. 228-229. — 383 sid. — ISBN 5-09-001287-3 .
Challs sats i problem
Satser om rörelsesammansättning