Enhetlig kontinuitetssats

Den enhetliga kontinuitetssatsen eller Cantor - Heine - satsen säger att en kontinuerlig funktion definierad på en kompakt mängd är enhetlig kontinuerlig på den.

Formulering

Låt två metriska mellanslag ges och Låt också ges en kompakt delmängd och en kontinuerlig funktion definierad på den . Då är den enhetligt kontinuerlig på $(X,\rho _{X})$ $(Y,\rho _{Y}).$ $A\delmängd X$ $f\colon A\to Y.$ $f$ $A.$

Anteckningar

I synnerhet är en kontinuerlig funktion med reellt värde definierad på ett segment enhetligt kontinuerlig på det. $f\kolon [a,b]\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

Under teoremets villkor kan den kompakta mängden inte ersättas av en godtycklig öppen mängd. Till exempel funktionen $f(x)={\frac {1}{x)),\;x\in (0,1)$

är kontinuerlig över hela definitionsdomänen, men är inte enhetligt kontinuerlig. Bevis

Låt oss använda bevis genom motsägelse.

Låta vara en funktion som uppfyller villkoren för satsen (på en kompakt mängd ), men är inte enhetligt kontinuerlig på den. Sedan finns det sådana att för alla finns sådana och , avståndet mellan vilka är mindre än , men avståndet mellan deras bilder är inte mindre än : $f(x)$ $A$ $\varepsilon$ $\delta>0$ $x$ $y$ $\delta$ $\varepsilon$

\exists \varepsilon >0\colon \quad \forall \delta >0\ \exists x_{{\delta )),y_({\delta }}\i A\colon \quad d(x,y)<\delta ,

men

d(f(x),f(y))\geqslant \varepsilon .

Låt oss ta en sekvens som konvergerar till 0, till exempel . Vi konstruerar sekvenser och så $\{\delta _{k}\}$ $\left\{{\frac {1}{k}}\right\}$ $x_k$ $y_{k}$

d(x_{k},y_{k})<{\frac {1}{k))

, men

d(f(x_{k}),f(y_{k}))\geqslant \varepsilon

$A$ är kompakt, så vi kan välja en konvergent undersekvens:

x_{k_{j}}\to {\bar {x}}\i A.

Men eftersom avståndet mellan medlemmarna i båda sekvenserna tenderar till noll, får vi, med hjälp av triangelolikheten, att motsvarande undersekvenser tenderar till en punkt: . Och eftersom är kontinuerlig , vilket motsäger antagandet att . ${\bar {x}}=\lim \limits _{j\to \infty }y_{k_{j}}=\zeta$ $f$ $f(x_{{k_{j}}})\to f(\zeta ),\quad f(y_{{k_{j}}})\to f(\zeta )\Högerpil d(f(x_{{ k_{j}}}),f(y_{{k_{j}}}))\till 0$ $d(f(x_{k}),f(y_{k}))\geqslant \varepsilon$

Därför är en funktion som är kontinuerlig på en kompakt enhet verkligen enhetlig kontinuerlig på den.

Historik

Definitionen av enhetlig kontinuitet förekommer i Heines arbete . [1] Två år senare publicerar han ett bevis på satsen för funktioner definierade på ett slutet avgränsat intervall. [2] I dessa tidningar låtsas han inte vara original och hans bevis upprepar praktiskt taget Dirichlets bevis som publicerades av honom i hans föreläsningar 1854.

Huvudbidraget verkar komma från Bolzano . [3]

Litteratur

↑ Heine, Über Trigonometrische Reihen, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 71 (1870), s. 353–365
↑ Heine, Die Elemente der Functionenlehre, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 74 (1872), s. 172–188.
↑ Rusnock, Paul och Angus Kerr-Lawson. "Bolzano och enhetlig kontinuitet." Historia mathematica 32.3 (2005): 303-311.