Öppna kartläggningssatsen

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 28 februari 2017; verifiering kräver 1 redigering .

Den öppna kartläggningssatsen anger

En linjär kontinuerlig operator som mappar ett Banach-utrymme till hela Banach-utrymmet är en öppen mappning , det vill säga öppna in för alla öppna i ; $A$ $X$ $Y$ $A(G)$ $Y$ $G$ $X$

Villkoren för den öppna kartläggningssatsen uppfylls, till exempel, av alla linjära kontinuerliga funktioner som inte är noll definierade på ett verkligt (komplext) Banach-utrymme med värden i (eller i ). $X$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Teoremet bevisades av Stefan Banach . Banachs homeomorfismteorem följer omedelbart av det :

En kontinuerlig linjär operator som mappar ett Banach-rum till ett Banach- rum på ett en-till-en-sätt är en homeomorfism, dvs. är också en kontinuerlig linjär operator. $A$ $X$ $Y$ $A^{{-1}}$

Generaliseringar

Den öppna kartläggningssatsen medger följande generalisering:

En kontinuerlig linjär operator som kartlägger ett perfekt komplett topologiskt vektorrum på ett fatutrymme är en öppen kartläggning. $X$ $Y$

Se även

Sluten grafsats