Rees representationssats

Rees representation theorem (även Rees-Fréchet theorem ) är ett uttalande av funktionell analys , enligt vilken varje linjärt begränsad funktionell i ett Hilbert-rum kan representeras genom en inre produkt med hjälp av något element. Uppkallad efter den ungerske matematikern Frigyes Rys .

Formulering

Låt det finnas ett Hilbertrum och en linjärt avgränsad funktion i rummet . Sedan finns det ett unikt inslag i utrymmet , som för ett godtyckligt . Dessutom är jämställdheten uppfylld: . $H$ $f\in H'$ $H$ $y$ $H$ $x\i H$ $f(x)=\langle y,x\rangle$ $\|y\|=\|f\|$

Bevis

$\ker(f)$ kärnan i en linjär funktion är ett vektordelrum . $H$

Existens $y$

Om så räcker det att ta . Låt oss anta det . Då och därför är det ortogonala komplementet av kärnan inte lika med . Vi väljer en godtycklig vektor som inte är noll . Låt . Det kommer vi att visa för alla . Tänk på vektorn . Observera att , och därmed . För då . Följaktligen, $f\ekvivalent 0$ $y=0$ $f\neq 0$ $\ker(f)\neq H$ ${\displaystyle \ker(f)^{\bot ))$ $f$ $\{0\}$ $b\in \ker(f)^{\bot }\setminus {\big \{}0{\big \))$ $y={\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2}}}b$ $f(x)=\langle y,x\rangle$ $x\i H$ $p_{x}=x-{\tfrac {f(x)}{f(b)}}b$ $f(p_{x})=f(x)-{\tfrac {f(x)}{f(b)))f(b)=0$ $p_{x}\in \ker(f)$ ${\displaystyle b\in \ker(f)^{\bot ))$ $\langle b,p_{x}\rangle =0$

$\langle b,p_{x}\rangle ={\Big \langle }b,x-{f(x) \over f(b)}b{\Big \rangle }=\langle b,x\ intervall -{f(x) \över f(b)}\|b\|^{2}=0$ .

Härifrån och . $f(x)=\langle b,x\rangle {\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2))}$ $f(x)=\langle y,x\rangle$

Unikhet $y$

Låt oss anta det och elementen uppfyller . $y$ $z$ $H$ $f(x)=\langle y,x\rangle =\langle z,x\rangle$

Det betyder att jämställdheten gäller för alla , i synnerhet som jämlikheten erhålls från . $x\i H$ $\langle yz,x\rangle =0$ $\langle yz,yz\rangle =\|yz\|^{2}=0$ $y=z$

Lika normer

För att bevisa det, först från Cauchy-Bunyakovsky-ojämlikheten har vi: . Därför, enligt definitionen av normen för det funktionella, har vi: Dessutom, , varifrån . Genom att kombinera de två ojämlikheterna får vi . $\|y\|=\|f\|$ $|f(x)|=|\langle y,x\rangle |\leq \|y\|\|x\|$ $\|f\|\leq \|y\|.$ $\langle y,y\rangle =f(y)\leq \|y\|\|f\|$ $\|y\|\leq \|f\|$ $\|y\|=\|f\|$

Se även

Lax-Milgram teorem