Toponogovs jämförelsesats

Toponogovs jämförelsesats är ett klassiskt teorem för Riemannsk geometri i allmänhet.

I det tvådimensionella fallet bevisades satsen av Paolo Pizzetti [1] . Hans arbete gick obemärkt förbi i ett sekel. [2] Teoremet motbevisades oberoende av Aleksandr Danilovich Aleksandrov [3] och generaliserades av Viktor Andreevich Toponogov [4] till högre dimensioner.

Obligatoriska definitioner

För att formulera satsen behöver vi ett par definitioner. Låt vara en komplett Riemannian grenrör av minst 2 dimension och med sektionskrökning inte mindre än någon konstant . $M$ $\kappa$

Beteckna med modellens krökningsplan . Vid , Detta är det euklidiska planet, vid , är isometrisk till ytan av en sfär med radie , och vid , är Lobachevskys krökningsplan . ${\mathbb {M}}_{\kappa }$ $\kappa$ $\kappa=0$ $\kappa >0$ ${\mathbb {M}}_{\kappa }$ ${\tfrac 1{{\sqrt {\kappa ))))$ $\kappa<0$ ${\mathbb {M}}_{\kappa }$ $\kappa$

En triangel in är en trippel av kortaste vägar som förbinder tre punkter i par. I det här fallet kallas var och en av de tre punkterna för triangelns vertex , och vinkeln mellan paret av kortaste punkter som går ut från vertexen kallas vinkeln vid denna vertex. $M$

Låt det vara en triangel i . Antag att det finns en triangel med lika motsvarande sidor och dessutom är en sådan triangel unik upp till kongruens. I det här fallet kallas triangeln modelltriangeln för triangeln i . $\triangel$ $M$ ${\mathbb {M}}_{\kappa }$ ${\tilde \triangle }_{\kappa }$ ${\tilde \triangle }_{\kappa }$ ${\tilde \triangle }_{\kappa }$ $\triangel$ $M$

Observera att modelltriangeln alltid definieras om . I fallet är detta sant om omkretsen är strikt mindre än . ${\tilde \triangle }_{\kappa }$ $\kappa \leq 0$ $\kappa >0$ $\triangel$ $2\cdot \pi /{\sqrt {\kappa ))$

Låt in vara en modelltriangel i . Låt oss definiera modellvinkeln som ett vinkelmått . $\triangle {\tilde x}{\tilde y}{\tilde z}$ ${\mathbb {M}}_{\kappa }$ $\triangel xyz$ $M$ ${\tilde \measuredangle }_{\kappa }xyz$ $\measuredangle {\tilde x}{\tilde y}{\tilde z}$

Formulering

Sats. Låt vara en komplett Riemannian grenrör och med sektionskrökning inte mindre än någon konstant . Då är vinklarna för en triangel i M inte mindre än motsvarande vinklar för dess modelltriangel . Med andra ord $M$ $\kappa$ $\triangel$ ${\tilde \triangle }_{\kappa }$

{\tilde \measuredangle }_{\kappa }xyz\leq \measuredangle xyz

för vilken triangel som helst . $\triangel xyz$

Konsekvenser

Låt oss anta att det är ett komplett Riemann-grenrör med icke-negativ tvärsnittskurvatur. Sedan för vilken punkt som helst är funktionen 2-konkav; det vill säga för alla normala geodetiska , är funktionen konkav. $M$ $p\in M$ $f(x)=|px|_{M}^{2}$ $\gamma$ $t\mapsto f\circ \gamma (t)-t^{2}$

Variationer och generaliseringar

Det omvända satsen är också sant, det vill säga om jämförelsen av vinklar är sann för vilken triangel som helst i ett Riemann-grenrör, så har den åtminstone krökning . $M$ $M$ $\kappa$

För varje punkt x på sidan av triangeln , beteckna med motsvarande punkt på sidan . Då är påståendet om satsen ekvivalent med följande olikhet $\triangel$ ${\tilde x}$ ${\tilde \triangle }\kappa$ $|{\tilde x}-{\tilde y}|_{({\mathbb M}_{\kappa ))}\leq |xy|_{M}$

där anger avståndet mellan punkter och i ett Riemannskt grenrör .

|xy|_{M}

x

y

M

Påståendet av satsen är ekvivalent med följande olikhet ${\tilde \measuredangle }_{\kappa }xpy+{\tilde \measuredangle }_{\kappa }ypz+{\tilde \measuredangle }_{\kappa }zpx\leq 2\cdot \pi$

för godtyckliga fyra poäng

p,x,y,z\in M

Se även

Rauchs jämförelsesats

Litteratur

Gromol D., Klingenberg V., Meyer V., Riemannian geometri in general, Mir, 1971, sid. 343.
Burago Yu.D., Zalgaller V.A. Introduktion till Riemannsk geometri. - St. Petersburg: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .

Länkar

↑ Pizzetti, P., Paragone fra due triangoli a lati uguali. Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti (5). Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali 16(1), 1907, 6–11.
↑ Pambuccian, Victor; Zamfirescu, Tudor, Paolo Pizzetti: den bortglömda upphovsmannen till triangeljämförelsegeometri. Historia Math. 38 (2011), nr. 3, 415-422.
↑ A.D. Aleksandrov, Inre geometri av konvexa ytor, Moskva-Leningrad, Gostekhizdat, 1948.
↑ V. A. Toponogov, Riemannska krökningsrum avgränsade underifrån Uspekhi Mat. Nauk, 14:1(85) (1959), 87–130