Existens- och unikhetssats för en lösning av en vanlig differentialekvation

Existens- och unikhetssatsen för en lösning av en vanlig differentialekvation är ett teorem som beskriver mängden av alla lösningar till en vanlig differentialekvation . Det är den huvudsakliga teoretiska positionen i studiet av vanliga differentialekvationer. [ett]

Det står att för varje initialvärde från definitionsdomänen finns det alltid en lösning på ekvationen med dessa initiala värden, definierade på något intervall som innehåller punkten . Om det finns två lösningar med samma initiala värden , som var och en definieras på sitt eget intervall som innehåller , så sammanfaller dessa lösningar på den gemensamma delen av dessa intervall . [2] ${\displaystyle x_{0},{\vec {y_{0))))$ ${\vec {\dot {y}}}={\vec {f}}(x,{\vec {y}})$ ${\vec {y}}={\vec {\varphi }}(x)$ $x_{{0}}$ ${\displaystyle x_{0},{\vec {y_{0))))$ ${\displaystyle x_{0},{\vec {y_{0))))$

Formulering

Betrakta en vanlig differentialekvation (ODE) , där är en vektor, , är en vektorfunktion av en vektor och en skalär , tecknet betyder derivatan med avseende på . Funktionerna och alla deras partiella derivator är definierade och kontinuerliga i en öppen uppsättning . ${\vec {\dot {y}}}={\vec {f}}(x,{\vec {y}})$ ${\vec {y}}=(y_{1},...,y_{n})$ ${\vec {f}}(x,{\vec {y}})=(f_{1}(x,{\vec {y}}),...,f_{n}(x, {\vec {y))))$ ${\vec {y}}$ $x$ ${\dot {y}}$ $y$ $x$ ${\vec {f}}(x,{\vec {y}})$ ${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}(x,y_{1},...,y_{n})}{\partial y_{j))))$ $i,j=1,...,n$ $\Gamma$

Sedan för varje punkt , kallad lösningens initiala värden , finns det en lösning till ODE , definierad på något intervall som innehåller punkten och uppfyller villkoret , som kallas lösningens initiala villkor . $x_{0},{\vec {y_{0}}}\in \Gamma$ ${\vec {y}}={\vec {\varphi }}(x)$ $x_{{0}}$ ${\displaystyle {\vec {\varphi }}(x_{0})={\vec {y_{0))))$

Om det finns två lösningar till ODE , , definierade på sina egna intervall av värden för variabeln , som innehåller en punkt och sådan att , så sammanfaller dessa lösningar var de än definieras. Det vill säga, för initialvärdena definieras en unik lösning som uppfyller initialvillkoret . [3] [4] ${\vec {y}}={\vec {\psi }}(x)$ ${\vec {y}}={\vec {\chi }}(x)$ $x$ $x_{{0}}$ ${\vec {\psi }}(x_{0})={\vec {\chi }}(x_{0})={\vec {y_{0}}}$ ${\displaystyle x_{0},{\vec {y_{0))))$ ${\vec {\varphi }}(x,{\vec {y_{0}}},x_{0})$ ${\vec {\varphi }}(x_{0},{\vec {y_{0}}},x_{0})={\vec {y_{0}}}$

Funktionen och dess partiella derivator är kontinuerligt beroende av variablerna . ${\vec {\varphi }}(x,{\vec {y_{0}}},x_{0})$ ${\frac {{\vec {\varphi }}f_{i}(x,{\vec {y_{0}}},x_{0})}{\partial y_{0}}}$ $i=1,...,n$ $x,{\vec {y_{0}}},x_{0}$

Blandade derivat finns , är kontinuerliga i och beror inte på differentieringsordningen. [3] ${\frac {\partial ^{2}\varphi _{i}(x,{\vec {y_{0}}},x_{0})}{\partial x\partial ^{j}y_ {0}}}$ $i,j=1,...,n$ ${\displaystyle t,{\vec {x_{0))))$

Se även

Peanos teorem

Anteckningar

↑ Pontryagin, 1988 , sid. femton.
↑ Pontryagin, 1988 , sid. 17-18.
↑ 1 2 Pontryagin, 1988 , sid. 16-17.
↑ P.I. Lizorkin Kurs i differentialekvationer och integralekvationer med ytterligare analyskapitel. - M. , Nauka , 1981. - sid. 86

Litteratur

L.S. Pontryagin . Differentialekvationer och deras tillämpningar. — M .: Nauka , 1988. — 208 sid.