Thomas-Fermi teori

Thomas-Fermi-teorin ( Thomas-Fermi- modellen ) är en kvantmekanisk teori om den elektroniska strukturen i ett mångakroppssystem, utvecklad med hjälp av den semiklassiska approximationen kort efter upptäckten av Schrödinger-ekvationen av Enrico Fermi och Luellin Thomas [1] [ 2] . Den är inte baserad på vågfunktionen utan är formulerad i termer av elektrontäthet och ses som en föregångare till modern densitetsfunktionsteori . Thomas-Fermi-modellen är korrekt endast i gränsen för oändlig kärnladdning. Genom att använda denna approximation för verkliga system ger teorin dåliga kvantitativa förutsägelser och är inte ens i stånd att reproducera några vanliga egenskaper, såsom tätheten av skalstrukturen hos atomer och Friedel-svängningar i fasta ämnen. Det har dock funnit tillämpningar inom många områden på grund av dess förmåga att analytiskt få korrekt kvalitativt beteende och den lätthet med vilken det kan lösas. Thomas-Fermi uttryck för kinetisk energi används också som en del av en mer komplex approximation för den kinetiska energitätheten i moderna densitet funktionella teorier , där orbitaler kan undvaras .

Kinetisk energi

För ett element med liten volym ΔV , och för en atom i grundtillståndet, kan vi fylla i det sfäriska impulsutrymmet volymen V f upp till Fermi-momentet p f , och därmed [3]

V_{f}={\frac {4}{3}}\pi p_{f}^{3}({\vec {r}}),

var är punkten i ΔV . $\vec{r}$

Motsvarande fasutrymme har volym

\Delta V_{ph}=V_{f}\ \Delta V={\frac {4}{3}}\pi p_{f}^{3}({\vec {r}})\ \ Delta V.

Elektronerna i ΔV ph är jämnt fördelade, med två elektroner i h 3 av denna volym av fasutrymme, där h är Plancks konstant. [4] Då blir antalet elektroner i ΔV ph

\Delta N_{ph}={\frac {2}{h^{3}}}\ \Delta V_{ph}={\frac {8\pi }{3h^{3}}}p_{ f}^{3}({\vec {r)))\ \Delta V.

Antal elektroner i ΔV :

\Delta N=n({\vec {r)))\ \Delta V,

var är elektrondensiteten. $n({\vec {r)))$

Genom att likställa antalet elektroner i ΔV och i ΔV ph , får vi

n({\vec {r)))={\frac {8\pi }{3h^{3}}}p_{f}^{3}({\vec {r}}).

Den bråkdel av elektroner i vars rörelsemängd ligger mellan momentet p och p+dp är ${\vec {r))$

{\begin{aligned}F_{\vec {r}}(p)dp&={\frac {4\pi p^{2}dp}{{\frac {4}{3}}\pi p_ {f}^{3}({\vec {r))))}\qquad \qquad p\leq p_{f}({\vec {r)))\\&=0\qquad \qquad \qquad \ quad {\text{annars}}\\\end{aligned}}

Med det klassiska uttrycket för den kinetiska energin för en elektron med massan m e , den kinetiska energin per volymenhet in för elektronerna i en atom ${\vec {r))$

{\begin{aligned}t({\vec {r)))&=\int {\frac {p^{2}}{2m_{e}}}\ n({\vec {r}} )\ F_{\vec {r}}(p)\ dp\\&=n({\vec {r}})\int _{0}^{p_{f}({\vec {r}}) }{\frac {p^{2}}{2m_{e}}}\ \ {\frac {4\pi p^{2}}{{\frac {4}{3}}\pi p_{f} ^{3}({\vec {r))))}\ dp\\&=C_{F}\ [n({\vec {r)))]^{5/3},\end{aligned} }

där det tidigare uttrycket användes, relaterande och och $n({\vec {r)))$ $p_{f}({\vec {r)))$

C_{F}={\frac {3h^{2}}{10m_{e}}}\left({\frac {3}{8\pi }}\right)^{\frac {2} {3}}.

Att integrera den kinetiska energin per volymenhet över hela rymden leder till elektronernas totala kinetiska energi: [5] $t({\vec {r)))$

T=C_{F}\int [n({\vec {r)))]^{5/3}\ d^{3}r\ .

Detta resultat visar att elektronernas totala kinetiska energi kan uttryckas endast i termer av den rumsligt beroende elektrontätheten enligt Thomas-Fermi-modellen. Därför kunde de beräkna energin hos en atom med hjälp av detta uttryck för kinetisk energi, kombinerat med de klassiska uttrycken för kärn-elektron- och elektron-elektron-interaktioner (som kan representeras som elektrontäthet). $n({\vec {r)))$

Potentiell energi

Den potentiella energin för elektronerna i en atom på grund av den elektriska attraktionen av en positivt laddad kärna:

U_{eN}=\int n({\vec {r)))\ V_{N}({\vec {r)))\ d^{3}r,

var är den potentiella energin för en elektron vid en punkt i kärnans elektriska fält. I fallet när kärnan är vid en punkt (kärnan är laddningen Ze , där Z är ett naturligt tal, e är den elementära laddningen ): $V_{N}({\vec {r)))$ ${\vec {r))$ ${\vec {r}}=0$

V_{N}({\vec {r)))={\frac {-Ze^{2}}{r}}.

Den potentiella energin hos elektroner på grund av deras ömsesidiga elektriska repulsion är

U_{ee}={\frac {1}{2}}\ e^{2}\int {\frac {n({\vec {r}})\ n({\vec {r}} \,')}{\left\vert {\vec {r}}-{\vec {r}}\,'\right\vert }}\ d^{3}r\ d^{3}r'.

Total energi

Den totala energin hos elektroner är lika med summan av deras kinetiska och potentiella energier: [6]

{\begin{aligned}E&=T\ +\ U_{eN}\ +\ U_{ee}\\&=C_{F}\int [n({\vec {r)))]^{ 5/3}\ d^{3}r\ +\int n({\vec {r)))\ V_{N}({\vec {r)))\ d^{3}r\ +\ { \frac {1}{2}}\ e^{2}\int {\frac {n({\vec {r}})\ n({\vec {r}}\,')}{\left\ vert {\vec {r}}-{\vec {r}}\,'\right\vert }}\ d^{3}r\ d^{3}r'.\\\end{aligned}}

Anteckningar

↑ Thomas, LH Beräkningen av atomfält (obestämd) // Proc. Cambridge Phil. Soc .. - 1927. - T. 23 , nr 5 . - S. 542-548 . - doi : 10.1017/S0305004100011683 . - .
↑ Fermi, Enrico. Un Metodo Statistico per la Determinazione di alcune Prioprietà dell'Atomo (italienska) // Rend. Accad. Naz. Lincei: diario. - 1927. - V. 6 . - s. 602-607 . Arkiverad från originalet den 15 december 2019.
↑ mars 1992, s.24
↑ Parr och Yang 1989, s.47
↑ mars 1983, sid. 5, ekv. elva
↑ mars 1983, sid. 6, ekv. femton

Litteratur

R.G. Parr och W. Yang. Densitet-funktionell teori om atomer och molekyler . - New York: Oxford University Press , 1989. - ISBN 978-0-19-509276-9 .
NH mars. Elektrondensitetsteori för atomer och molekyler . - Academic Press , 1992. - ISBN 978-0-12-470525-8 .
NH mars. 1. Ursprung - The Thomas-Fermi Theory // Theory of The Inhomogeneous Electron Gas (ospecificerad) / S. Lundqvist och NH March. - Plenum Press , 1983. - ISBN 978-0-306-41207-3 .