Lagrange multiplikatortest

Lagrange multiplikatortest ( eng.  Lagrange multiplier test, Score test ) är ett statistiskt test som används för att testa begränsningar på parametrarna för statistiska modeller uppskattade från provdata . Det är ett av de tre grundläggande begränsningstesten tillsammans med sannolikhetsförhållandetestet och Wald-testet . Testet är asymptotiskt, det vill säga en tillräckligt stor urvalsstorlek krävs för slutsatsernas tillförlitlighet.

Essensen och förfarandet för testet

Låt det finnas en ekonometrisk modell med parametervektor b. Det är nödvändigt att testa hypotesen med hjälp av exempeldata , där g är en uppsättning (vektor) av vissa parameterfunktioner. Idén med testet är baserad på tillämpningen av den välkända metoden för Lagrange-multiplikatorer för att uppskatta parametrarna för en begränsad (kort) modell, baserad på en modell utan begränsningar (lång modell). Låt log-sannolikheten för den långa modellen vara . För att uppskatta den korta modellen är det nödvändigt att konstruera Lagrange-funktionen

Då kommer de maximala villkoren att se ut så här:

Testet är baserat på det faktum att om begränsningarna är uppfyllda måste Lagrange-multiplikatorerna vara lika med noll. Eftersom de uppskattade värdena kommer att användas istället för de sanna värdena för parametrarna, borde Lagrange-multiplikatorerna helt enkelt vara så nära noll som möjligt, nämligen det kan visas att uppskattningarna av Lagrange-multiplikatorerna har en normalfördelning med noll matematisk förväntan och en kovariansmatris beroende på kovariansmatrisen för de långa modellens parameteruppskattningar. Sedan teststatistiken

kommer att ha en chi-kvadratfördelning, med q frihetsgrader, där q är antalet begränsningar.

Specialfall

När man testar linjära begränsningar för en linjär regressionsmodell kommer LM-statistiken att vara lika med

Det kan visas att för en klassisk linjär modell är LM-statistiken

I synnerhet när man kontrollerar signifikansen av regressionen som helhet (det vill säga när man testar hypotesen att alla koefficienter för andra faktorer än en konstant är lika med noll) - den totala summan av kvadrater (variansen av den beroende variabeln multiplicerad med n ). Följaktligen,

,

var är bestämningskoefficienten .

Samband med andra tester

Det är bevisat att Wald-testet (W), sannolikhetsförhållandetestet (LR) och Lagrange-multiplikatortestet (LM) är asymptotiskt ekvivalenta test (LM=LR=W). Men för ändliga prover stämmer inte statistikens värden. För linjära begränsningar är ojämlikheten bevisad . Således kommer testet av Lagrange-multiplikatorer oftare än andra test att acceptera nollhypotesen om restriktionerna (mindre ofta än andra kommer att förkasta den). I fallet med icke-linjära begränsningar är den första delen av ojämlikheten uppfylld, medan den andra delen i allmänhet inte är det.

Istället för LM-testet kan du använda det asymptotiska F-testet , vars statistik är relaterad till LM-statistiken enligt följande:

,

där k är antalet modellparametrar.

I många fall, på små prover, är ett sådant test ännu mer att föredra än det ursprungliga LM-testet.

Se även

Litteratur