Topologisk kombinatorik är en ung gren av matematiken som växte fram under det sista kvartalet av 1900-talet och behandlar följande frågor:
Kombinatorisk topologi använder kombinatoriska principer i topologi och utvecklades till området för algebraisk topologi i början av 1900-talet .
1978 vände situationen - metoderna för algebraisk topologi användes för att lösa problemet inom kombinatorik , när Laszlo Lovas bevisade Kneser-förmodan och en ny studie av topologisk kombinatorik började .
Lovasz bevis använder sig av Borsuk-Ulam-satsen , och denna sats har en framträdande roll i detta nya fält. Detta teorem har många likvärdiga versioner och analoger och används för att studera rättvis divisionsproblem .
I en annan tillämpning av homologiska metoder på grafteori, bevisade Lovasz både oriktade och riktade versioner av Franks gissning — Givet en k -kopplad graf G , k poäng v 1 ,..., v k ∈ V ( G ) och k positiva tal n 1 , n 2 ,..., n k , vars summa är lika med | V ( G )|, det finns en partition { V1 , ..., Vk } av mängden V ( G ) så att vi ∈Vi , | Vi |= ni och Vi bildar en sammankopplad subgraf .
År 1987 löste Noga Alon halsbandsdelningsproblemet med hjälp av Borsuk-Ulam-satsen. Teoremet användes också för att studera beräkningskomplexiteten hos linjära beslutsträdsalgoritmer och Aandera-Karp-Rosenberg-hypotesen . Andra studieområden är topologier av delvis ordnade uppsättningar och Bruchat-order .
Dessutom har metoder från differentiell topologi nu en kombinatorisk motsvarighet i diskret Morse-teori .