Bruhat Order

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 10 november 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Bruchatordningen (aka strikt ordning , strikt Bruchatordning , Chevalleyordning , Bruchat–Chevalleyordning , Chevalley–Bruchatordning ) är en delordning på beståndsdelar i en Coxeter-grupp som motsvarar inklusionsordningen på Schubert-sorter .

Historik

Bruchatordningen på Schuberts flaggavarianter av en sort eller en Grassmannian studerades först av Ehresmann [1] , medan analogen för mer allmänna halvenkla algebraiska grupper studerades av Chevalley [2] . Verma [3] påbörjade en kombinatorisk studie av Bruchat-orden på Weil-gruppen och introducerade namnet "Bruchat-orden" på grund av dess samband med Bruchat-nedbrytningen .

Björner [4] studerade vänster och höger svaga Bruchat-ordningar .

Definition

Om ( W , S ) är ett Coxeter-system med generatorer S , så är Bruchat - ordningen en delordning på gruppen W. Kom ihåg att det reducerade ordet för ett element w i en grupp W är ett uttryck för minsta längd som består av elementen i S , och längden l ( w ) av elementet w är längden på det reducerade ordet.

Under (strikt) Bruhat-ordning, u ≤ v om någon delsträng av något (eller något) reducerat ord för v är ett reducerat ord för u .

(Observera att delsträngen här inte innebär ett sekventiellt arrangemang av element.)

Med svag vänsterordning (Bruhata) u ≤ L v , om någon finit delsträng (det vill säga delsträngen som v slutar med) av något reducerat ord för v är ett reducerat ord för u .
I den svaga rätta ordningen (Bruhata), u ≤ R v , om någon initial delsträng (det vill säga delsträngen som ordet v börjar med) av något reducerat ord för v är ett reducerat ord för u .

För mer information om svaga ordningsföljder, se artikeln "Svag ordning av permutationer" .

Greve Bruhata

Bruchat-grafen är en riktad graf associerad med den strikta Bruchat-ordningen. Grafens vertexuppsättning är elementen i Coxeter-gruppen, och kantuppsättningen består av riktade kanter ( u , v ) för vilka u = t v för viss reflektion t och l ( u ) < l ( v ). Man kan tänka sig en graf som en riktad graf med märkta kanter, där etiketter definieras av reflektioner. (Du kan definiera en Bruchat-graf med rätt multiplikation med t . Som en graf får vi ett isomorft objekt, men kanternas etiketter kommer att vara olika.)

En stark Bruchat-ordning på en symmetrisk (permutations) grupp har en Möbius-funktion given av equality , i vilket fall poset är Euler, vilket betyder att Möbius-funktionen ges av rangfunktionen på poset. ${\displaystyle \mu (\pi ,\sigma )=(-1)^{\ell (\sigma )-\ell (\pi )))$

Litteratur

Anders Björner. Beställningar av Coxeter-grupper // Combinatorics and algebra (Boulder, Colo., 1983) / Curtis Greene. - Providence, RI: American Mathematical Society , 1984. - V. 34. - S. 175-195. - (Samtida matematik.). — ISBN 978-0-8218-5029-9 .
Anders Björner, Francesco Brenti. Kombinatorik av Coxeter-grupper. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2005. - Vol 231. - (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-3-540-44238-7 . - doi : 10.1007/3-540-27596-7 .
C. Chevalley. Sur les décompositions cellulaires des espaces G/B // Algebraiska grupper och deras generaliseringar: klassiska metoder (University Park, PA, 1991) / William J. Haboush, Brian J. Parshall. - Providence, RI: American Mathematical Society , 1958. - V. 56. - S. 1-23. - (Proc. Sympos. Ren matematik.). - ISBN 978-0-8218-1540-3 .
Charles Ehresmann. Sur la Topologie de Certains Espaces Homogènes (Fr) // Annals of Mathematics . - Annals of Mathematics, 1934. - V. 35 , nr. 2 . — S. 396–443 . — ISSN 0003-486X . - doi : 10.2307/1968440 . — .
Daya-Nand Verma. Struktur av vissa inducerade representationer av komplexa semisimpla Lie-algebror // Bulletin of the American Mathematical Society . - 1968. - T. 74 . — S. 160–166 . — ISSN 0002-9904 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1968-11921-4 .