Avrundningspunkt

En avrundningspunkt ( cirkulär punkt , navelspets eller navellinje ) är en punkt på en jämn regelbunden yta i det euklidiska rymden där de normala krökningarna i alla riktningar är lika.

Namnet " navel " kommer från franskans "ombilic", som i sin tur kommer från det latinska "navel" - "navel".

Egenskaper

Vid avrundningspunkten:

ytans huvudsakliga krökningar är desamma.
Den första kvadratiska formen och den andra kvadratiska formen av ytan är proportionella.
någon tangentriktning är en huvudriktning .
Den rörande paraboloiden är en revolutionsparaboloid .
Dupins indikator är en cirkel .
Nätverket av krökningslinjer (det vill säga linjer som vid varje punkt tangerar en av ytans huvudsakliga riktningar) har en egenskap [1] .
Varje avrundningspunkt är antingen en elliptisk punkt på ytan (om de huvudsakliga krökningarna inte är noll, och därför är den gaussiska krökningen av ytan vid den punkten positiv), eller en så kallad platt avrundningspunkt (om de huvudsakliga krökningarna är noll, och följaktligen är den Gaussiska krökningen och den genomsnittliga krökningen av ytan lika med noll vid denna punkt). I det första fallet, i ett litet område av rundningspunkten, ser ytan ut som en sfär, och i det andra ser den ut som ett plan.

Exempel

I det euklidiska rummet med metrisk : $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

Hela sfären består av elliptiska avrundningspunkter.
En triaxiell ellipsoid (med parvis distinkta axlar) har exakt fyra avrundningspunkter, som alla är elliptiska och av typen "citron".
Hela planet består av platta avrundningspunkter.
Apsadeln har en isolerad platt avrundningspunkt vid ursprunget.

Hypothesis of Carathéodory

Carathéodory förmodade att det finns minst två avrundningspunkter på varje tillräckligt slät stängd konvex yta M i tredimensionellt euklidiskt utrymme . Denna gissning bevisades senare under det ytterligare antagandet att ytan M är analytisk [2] [3] .

Generalisering

Låt vara en jämn mångfald av godtycklig dimension i ett euklidiskt utrymme av högre dimension. Sedan, vid varje punkt , definieras egenvärdena för paret av de första och andra kvadratiska formerna som ges på tangentbunten . En punkt kallas en navelsträng om mängden innehåller minst två matchande siffror. Uppsättningen av navelsträngar har kodimension 2, det vill säga den ges av två oberoende ekvationer. [4] Således är navelsträngar på en generisk yta isolerade ( ), medan de på ett generiskt 3-grenrör bildar en kurva ( ). $M$ $n\geq 2$ $x\i M$ $n$ $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ $TM$ $x\i M$ $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ $M$ $\dim=2-2=0$ $\dim=3-2=1$

Litteratur

Toponogov VA Differentialgeometri för kurvor och ytor. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .
Rashevsky P. K. Kurs för differentialgeometri, - Vilken utgåva som helst.
Finikov S.P. Kurs för differentialgeometri, - Vilken utgåva som helst.
Finikov S.P. Theory of Surfaces, - Vilken utgåva som helst.
Porteous IR Geometric Differentiation for the intelligens av kurvor och ytor - Cambridge University Press, Cambridge, 1994.
Struik DJ Lectures on Classical Differential Geometry, — Addison Wesley Publ. Co., 1950. Omtryckt av Dover Publ., Inc., 1988.

Anteckningar

↑ 1 2 Remizov A. O. Multidimensional Poincare-konstruktion och singulariteter av lyfta fält för implicita differentialekvationer, CMFD, 19 (2006), 131-170.
↑ Zbl 1056.53003
↑ Ivanov V. V. Analytisk hypotes av Carathéodory, Sib. matematik. j., 43:2 (2002), 314-405.
↑ Arnold V. I. Matematiska metoder för klassisk mekanik, - Alla upplagor. (Bilaga 10. Naturliga frekvensmultipliciteter och parameterberoende ellipsoider).