Trigonometriskt polynom

Ett trigonometriskt polynom är en funktion av ett reellt argument som är en finit trigonometrisk summa, det vill säga en funktion representerad som:

f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\ sin(kx))

var är argumentet och koefficienterna , och . $x,a_{k},b_{k}\in \mathbb {R}$ $k=1,2,...,n$

I komplex form, enligt Euler-formeln, skrivs ett sådant polynom enligt följande:

{\displaystyle f(x)=\sum _{k=-n}^{k=n}c_{k}e^{ikx))

var . $c_{0}={\frac {a_{0}}{2}},c_{k}={\frac {(a_{k}-ib_{k})}{2}},c_{ -k}={\frac {(a_{k}+ib_{k})}{2))$

Denna funktion är oändligt differentierbar och -periodisk - kontinuerlig på enhetscirkeln. $2\pi$

Trigonometriska polynom är det viktigaste sättet att approximera funktioner, som används för att interpolera och lösa differentialekvationer .

Enligt Weierstrass-satsen , för varje funktion som är kontinuerlig på en cirkel, finns det en sekvens av trigonometriska polynom som konvergerar enhetligt till den.

Ett trigonometriskt polynom är en delsumma av en Fourierserie . Enligt Fejers teorem konvergerar sekvensen av aritmetiska medelvärden för partialsummorna av Fourierserien likformigt till en funktion som är kontinuerlig på cirkeln. Detta ger en enkel konstruktiv metod för att konstruera en enhetligt konvergent sekvens av trigonometriska polynom.

Litteratur

Mathematical Encyclopedic Dictionary . - M . : "Ugglor. encyclopedia" , 1988. - S. 847 .
Zhuk V.V., Natanson G.I. Trigonometriska Fourierserier och element i approximationsteori. - L . : Förlaget Leningrad. un-ta, 1983. - S. 188.