Barkers ekvation

Barker- ekvationen är en implicit ekvation som bestämmer förhållandet mellan positionen för en himlakropp ( sann anomali ) och tiden när man rör sig längs en parabolisk bana [1] . Denna ekvation har använts flitigt i studiet av kometernas banor [2] , vars banor har en excentricitet nära enhet. För närvarande används denna ekvation inom astrodynamik [2]

Problem som leder till Barker-ekvationen

Lösningen av tvåkroppsproblemet ger banaekvationen i polära koordinater i formen

r={\frac {p}{1+e\,\cos \vartheta ))

var är omloppsparametern; är omloppsbanans excentricitet; - sann anomali - vinkeln mellan radievektorn för kroppens nuvarande position och riktningen till periapsis. Å andra sidan gäller Keplers andra lag . $sid$ $e$ $\vartheta$

r^{2}\,{\frac {d\vartheta }{dt}}=c

var är arean konstant. Baserat på dessa ekvationer är det lätt att få en integral som relaterar tid och den sanna anomalien i punkter och banor. $c$ $A_0$ $A_{1}$

{\displaystyle t_{1}-t_{0}={\frac {p^{2}}{c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1} }{\frac {d\vartheta }{\left(1+e\,\cos \vartheta \right)^{2))))

Sättet som denna integral beräknas beror på mängden excentricitet (se Keplers ekvation ). För en parabolisk bana kommer vi i detta fall fram till en trivial kedja av transformationer $e=1$

t_{1}-t_{0}={\frac {p^{2}}{c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1} }{\frac {d\vartheta }{\left(1+\cos \vartheta \right)^{2}}}={\frac {p^{2}}{4\,c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1}}\left(1+{\rm {tg}}^{2}{\frac {\vartheta }{2}}\right) ^{2}\,d\vartheta =\left|{\rm {tg}}{\frac {\vartheta}{2}}=z,\,d\vartheta ={\frac {2\,dz}{ 1+z^{2}}}\right|={\frac {p^{2}}{2\,c}}\int \limits _{{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _ {0}}{2}}}^{{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}}\left(1+z^{2}\right)\,dz ={\frac {p^{2}}{2\,c}}\vänster[{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg} }{\frac {\vartheta _{0}}{2}}+{\frac {1}{3}}\left({\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{1 }}{2}}-{\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}\right)\right]

Givet att omloppsparametern är relaterad till areakonstanten

p={\frac {c^{2}}{\mu }}

var är den centrala kroppens gravitationsparameter , och areakonstanten, vid parabolisk rörelse $\mu$

c=r_{\pi }\,v_{\pi }=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,\mu}{r_{\pi ))))

var är avståndet till periapsis; - hastighet vid pericentrum, när man rör sig längs en parabel, vilket är en parabolisk hastighet . Sedan får vi för omloppsparametern och kommer fram till det slutliga uttrycket ${\displaystyle r_{\pi ))$ $v_{\pi }$ $p=2\,r_{\pi }$

t_{1}-t_{0}=r_{\pi }{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left[{\rm {tg}} {\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}+{\frac {1}{3}}\ vänster({\rm {tg))^{3}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{0} }{2}}\right)\right]

Nu accepterar vi att banans initiala punkt är pericentrum, och därför transformerar vi det resulterande beroendet till formen $\vartheta _{0}=0$

n\,\left(t-t_{0}\right)={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}+{\frac {1}{3}}{\ rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta }{2}}

var är himlakroppens medelrörelse . Som ett resultat får vi en kubisk ekvation av formen $n={\sqrt {\frac {\mu}{2\,r_{\pi }^{3))))$

S+{\frac {1}{3}}\,S^{3}-M=0

där , är den genomsnittliga anomin i himlakroppens bana. Denna ekvation kallas Barker-ekvationen . $S={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}$ $M=n\,\left(t-t_{0}\right)$

Denna ekvation representerar det implicita beroendet av den sanna anomalien i tiden när en himlakropp rör sig längs en parabolisk bana. $\vartheta (t)$

Lösning av Barker-ekvationen

Ekvationen

S+{\frac {S^{3}}{3}}-M=0

är en kubikekvation skriven i Cardanos kanoniska form och har en analytisk lösning. Med hjälp av datoralgebra är det lätt att få denna lösning som innehåller en reell och två komplexa konjugerade rötter

S_{1}=x-{\frac {1}{x)),\quad S_{2,3}=-{\frac {x}{2))+{\frac {1}{2 \,x}}\pm i\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\left(x+{\frac {1}{x}}\right)

var $x={\frac {1}{2}}\,{\sqrt[{3}]{12\,M+4\,{\sqrt {9\,M^{2}+4}} }}$

Den fysiska innebörden av detta problem motsvarar bara den verkliga roten, så vi kan skriva

S={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}=x-{\frac {1}{x}}

Med tanke på denna rot kan man beräkna sinus och cosinus för den sanna anomalien

\cos \vartheta ={\frac {1-S^{2}}{1+S^{2}}},\quad \sin \vartheta ={\frac {2\,S}{1+ S^{2}}}\quad

genom vilken, med hänsyn till deras tecken, den sanna anomalien bestäms $\vartheta \in [0,\,2\,\pi )$

Barkers ekvation

Problem som leder till Barker-ekvationen

Lösning av Barker-ekvationen

Se även

Anteckningar

Litteratur