Keplers ekvation

Kepler-ekvationen beskriver en kropps rörelse längs en elliptisk bana i tvåkroppsproblemet och har formen:

Ee\,\sin E=M

var är den excentriska anomali , är orbital excentricitet och är medelanomali . $E$ $e$ $M$

Denna ekvation erhölls först av astronomen Johannes Kepler 1619 . Spelar en betydande roll i himlamekaniken .

Varianter av Kepler-ekvationen

Keplers ekvation i sin klassiska form beskriver rörelse endast längs elliptiska banor, det vill säga vid . Rörelse längs hyperboliska banor följer Keplers hyperboliska ekvation , som liknar den klassiska formen. Rörelse i en rak linje beskrivs av Keplers radiella ekvation . Slutligen används Barker-ekvationen för att beskriva rörelse i en parabolisk bana . När banor inte finns. $0\leq e<1$ $(e>1)$ $(e=-1)$ $(e=1)$ $e<0$

Ett problem som leder till Kepler-ekvationen

Betrakta rörelsen av en kropp i omloppsbana i en annan kropps fält. Låt oss ta reda på beroendet av kroppens position i omloppsbana i tid. Av Keplers andra lag följer det

r^{2}{\frac {d\vartheta }{dt}}={\rm {const}}={\sqrt {\mu a\left(1-e^{2}\right)} }

Här är avståndet från kroppen till gravitationscentrumet, är den sanna anomalien vinkeln mellan riktningarna till omloppsbanans pericentrum och till kroppen, är produkten av gravitationskonstanten och den graviterande kroppens massa, är omloppsbanas halvstora axel. Härifrån är det möjligt att erhålla beroendet av rörelsetiden längs omloppsbanan från den sanna anomalien: $r$ $\vartheta$ $\mu =GM_{0}$ $a$

t-t_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu a\left(1-e^{2}\right)))}\int \limits _{0}^{\ vartheta }r^{2}d\vartheta

Här är tiden för passage genom periapsis. $t_0$

Ytterligare lösning av problemet beror på vilken typ av bana längs vilken kroppen rör sig.

Elliptisk bana

Ellipsekvationen i polära koordinater har formen

{\displaystyle r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos {\vartheta ))))

Sedan tar ekvationen för tid formen

{\displaystyle t-t_{0}={\frac {\left(a\left(1-e^{2}\right)\right)^{3/2)){\sqrt {\mu ))} \int \limits _{0}^{\vartheta }{\frac {d\vartheta }{(1+e\cos {\vartheta })^{2))))

För att ta integralen, inför följande substitution:

\operatorname {tg} {\frac {\vartheta }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \operatorname {tg} {\frac {E }{2}}

Värdet på E kallas excentrisk anomali . Tack vare denna substitution är integralen lätt att ta. Det visar sig följande ekvation:

t-t_{0}={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}\left(Ee\sin E\right)

Värdet är den genomsnittliga vinkelhastigheten för kroppen i omloppsbana. Inom himlamekaniken används termen medelrörelse för denna kvantitet . Produkten av den genomsnittliga rörelsen och tiden kallas den genomsnittliga anomalien M. Detta värde är den vinkel med vilken kroppens radievektor skulle vända sig om den rörde sig i en cirkulär bana med en radie lika med huvudhalvaxeln i kroppens bana. ${\sqrt {{\frac {\mu }{a^{3))))}$

Således får vi Kepler-ekvationen för elliptisk rörelse:

Ee\sin E=M

Hyperbolisk bana

Ekvationen för en hyperbel i polära koordinater har samma form som ekvationen för en ellips. Därför erhålls integralen i samma form. Den excentriska anomin kan dock inte användas i detta fall. Vi använder den parametriska representationen av hyperbeln: , . Sedan tar ekvationen för hyperbeln formen $x=-a\,{\mathrm {ch}}\,H$ $y=a{\sqrt {e^{2}-1}}\,\mathrm {sh} \,H$

r=a\left(e\,\mathrm {ch} \,H-1\right)

och förhållandet mellan och $\vartheta$ $H$

\mathrm {tg} \,{\frac {\vartheta }{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\,\mathrm {th} \,{ \frac {H}{2}}

Tack vare denna substitution tar integralen samma form som i fallet med en elliptisk bana. Efter att ha utfört transformationerna får vi den hyperboliska Kepler-ekvationen:

M=e\,{\mathrm {sh}}\,HH

Kvantiteten kallas hyperbolisk excentrisk anomali . Sedan kan den sista ekvationen transformeras enligt följande: $H$ ${\mathrm {sh}}\,H=-i\sin {iH}$

M=-ei\sin {iH}-H=i\left(iH-e\sin {iH}\right)=i\left(Ee\sin E\right)

Härifrån är det tydligt att . $E=iH$

Parabolbana

Parabelekvationen i polära koordinater har formen

$r={\frac {2\,r_{\pi }}{1+\cos \vartheta }}$

var är avståndet till periapsis. Keplers andra lag för fallet med rörelse längs en parabolisk bana ${\displaystyle r_{\pi ))$

$r^{2}\,{\frac {d\vartheta }{dt}}={\rm {const}}={\sqrt {2\,\mu \,r_{\pi }}}$

Var får vi integralen som bestämmer rörelsetiden

${\displaystyle t-t_{0}=2\,r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\int \limits _{0} ^{\vartheta }{\frac {d\vartheta }{(1+\cos \vartheta )^{2))))$

Vi introducerar en universell trigonometrisk förändring

$z={\rm {tg}}\,{\frac {\vartheta }{2)),\quad \vartheta =2\,{\rm {arctg}}\,z,\quad d\vartheta ={\frac {2\,dz}{1+z^{2}}},\quad \cos \vartheta ={\frac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}$

och transformera integralen

$t-t_{0}=4\,r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\int \limits _{0} ^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}{\frac {\cfrac {dz}{1+z^{2}}}{\left(1+{\ cfrac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}\right)^{2}}}=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\ pi }}{\mu }}}\int \limits _{0}^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}(1+z^{2})\ ,dz=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left.\left(z+{\frac {z^{3}}{ 3}}\right)\right|_{0}^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}$

får vi äntligen

$t-t_{0}=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left({\rm {tg\,} }{\frac {\vartheta }{2}}+{\frac {1}{3}}{\rm {tg^{3}\,}}{\frac {\vartheta }{2}}\right)$

Det sistnämnda förhållandet är känt inom himlamekaniken som Barker-ekvationen .

Radiell bana

En bana kallas en radiell bana, vilket är en rät linje som går genom ett attraktionscentrum. I detta fall är hastighetsvektorn riktad längs banan och det finns ingen transversal komponent [1] , vilket betyder

$v={\frac {dr}{dt))$

Vi kommer att hitta sambandet mellan kroppens position i omloppsbana och tid utifrån energiöverväganden

${\frac {m\,v^{2}}{2}}-{\frac {m\,\mu }{r}}={\rm {const}}$

$v^{2}={\frac {2\mu }{r}}+h$

är energiintegralen. Därför har vi differentialekvationen

${\frac {dr}{dt}}=\pm {\sqrt ({\frac {2\mu }{r}}+h}}$

Genom att separera variablerna i denna ekvation kommer vi fram till integralen

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)=\int \limits _{r_{0}}^{r_{1}}{\frac {dr}{\sqrt {{ \cfrac {2\mu }{r}}+h}}}$

vars beräkningsmetod bestäms av konstantens tecken . Det finns tre fall $h$

$h<0$ rätlinjig elliptisk bana

Motsvarar fallet när kroppens totala mekaniska energi är negativ, och efter att ha flyttat till ett visst maximalt avstånd från det attraherande centrumet, kommer den att börja röra sig i motsatt riktning. Detta är analogt med att röra sig i en elliptisk bana. För att beräkna integralen introducerar vi ersättningen

${\frac {2\,\mu }{r}}={\frac {-h}{\sin ^{2}u}},\quad u_{0}={\rm {arcsin}} {\sqrt {\frac {-h\,r_{0}}{2\,\mu }}},\quad u_{1}={\rm {arcsin}}{\sqrt {\frac {-h\ ,r_{1}}{2\,\mu }}},\quad dr={\frac {4\,\mu }{-h}}\sin u\cos u\,du$

beräkna integralen

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {4\,\mu }{-h{\sqrt {-h))))\int \limits _{ u_{0}}^{u_{1}}\sin ^{2}u\,du={\frac {2\,\mu }{-h{\sqrt {-h))))\int \limits _{u_{0}}^{u_{1}}\left(1-\cos {2u}\right)\,du={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h}}} }\left.\left(2\,u-\sin 2u\right)\right|_{u_{0}}^{u_{1}}$

Förutsatt att vi skriver resultatet $E=2\,u$

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h))))\left(E_{1}-E_ {0}-\sin E_{1}+\sin E_{0}\right)$

tar vi som en (ouppnåelig i verkligheten) betingad periapsis och riktningen för den initiala hastigheten från det attraherande centrumet, får vi den så kallade radiella Kepler-ekvationen, som relaterar avståndet från det attraherande centrumet med rörelsetiden $r_{0}=0$

$t_{1}-t_{0}={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h))))\left(E-\sin E\right)$

var . ${\displaystyle E=2\arcsin {\sqrt {\frac {-h\,r}{2\,\mu ))))$

$h=0$ rätlinjig parabolisk bana

En radiellt utskjuten kropp kommer att röra sig till oändligheten från det attraherande centrumet, med en hastighet lika med noll i oändligheten. Motsvarar fallet med rörelse med parabolisk hastighet. Det enklaste fallet, eftersom det inte kräver utbyte i integralen

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)=\int \limits _{r_{0}}^{r_{1}}{\frac {dr}{\sqrt {\ cfrac {2\mu }{r))))={\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {2}{\mu }}}\left(r_{1}{\sqrt {r_ {1}}}-r_{0}{\sqrt {r_{0}}}\right)$

Med de initiala förutsättningarna för det första fallet får vi den explicita rörelselagen

$r(t)=\left[3{\sqrt {\frac {\mu }{2}}}\left(t_{1}-t_{0}\right)\right]^{\frac { 2}{3}}$

$h>0$ rätlinjig hyperbolisk bana

Motsvarar avgången från det attraktiva centrumet till oändligheten. I oändligheten kommer kroppen att ha en hastighet, . Vi inför en ersättare $v_{\infty }={\sqrt {h))$

${\frac {2\,\mu }{r))={\frac {h}({\rm {sh))^{2}u)),\quad u_{0}={\rm {arcsh}}{\sqrt {\frac {h\,r_{0}}{2\,\mu }}},\quad u_{1}={\rm {arcsh}}{\sqrt {\frac { h\,r_{1}}{2\,\mu }}},\quad dr={\frac {4\,\mu}{h}}\,{\rm {sh}}u\,{\ rm {ch}}u\,du$

och beräkna integralen

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {4\,\mu }{h{\sqrt {h))))\int \limits _{u_{ 0}}^{u_{1}}{\rm {sh}}^{2}u\,du={\frac {2\,\mu}{h{\sqrt {h}}}}\int \ gränser _{u_{0}}^{u_{1}}\left({\rm {ch}}{2u}-1\right)\,du={\frac {\mu }{h{\sqrt { h))))\left.\left({\rm {sh}}2u-2\,u\right)\right|_{u_{0}}^{u_{1}}$

Förutsatt att vi får $H=2\,u$

$\mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {\mu }{h{\sqrt {h))))\left({\rm {sh))\ ,H_{1}-{\rm {sh}}\,H_{0}-H_{1}+H_{0}\right)$

Om vi antar att de initiala förhållandena liknar det första fallet, har vi Keplers hyperboliska radiella ekvation

$t_{1}-t_{0}={\frac {\mu }{h{\sqrt {h))))\left({\rm {sh))HH\right)$

var ${\displaystyle H=2\,{\rm {arcsh)){\sqrt {\frac {h\,r}{2\,\mu ))))$

Lösning av Kepler-ekvationen

Lösningen av Kepler-ekvationen i de elliptiska och hyperboliska fallen finns och är unik för alla verkliga M [2] . För en cirkulär bana (e \u003d 0) tar Kepler-ekvationen den triviala formen M \u003d E. I allmänhet är Kepler-ekvationen transcendental . Det är inte löst i algebraiska funktioner. Men dess lösning kan hittas på olika sätt med hjälp av konvergenta serier . Den allmänna lösningen till Kepler-ekvationen kan skrivas med Fourier-serien :

E=M+2\cdot \sum _{n=1}^{n}{\frac {1}{n))J_{n}\left(n\,e\,\right)\cdot \sin{nM}

var

J_{m}\left(x\right)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }\cos \left(mE-x\sin {E}\ höger) dE

är Bessel-funktionen .

Denna serie konvergerar när värdet på ε inte överstiger värdet för Laplace-gränsen .

Ungefärliga metoder

Bland de numeriska metoderna för att lösa Kepler-ekvationen används ofta fixpunktsmetoden (”enkel iterationsmetod”) och Newtons metod [3] . För det elliptiska fallet i fixpunktsmetoden kan man ta M som initialvärdet för E 0 , och successiva approximationer har följande form [2] :

E_{n+1}=e\,\sin E_{n}+M

I det hyperboliska fallet kan fixpunktsmetoden inte användas på detta sätt, men denna metod gör det möjligt att för ett sådant fall härleda en annan approximationsformel (med en hyperbolisk invers sinus) [2] :

H_{n+1}=\operatörsnamn {Arsh} {\frac {H_{n}+M}{e))

Anteckningar

↑ Lukyanov, Shirmin, 2009 , sid. 70-71.
↑ 1 2 3 Balk M. B. Lösning av Kepler-ekvationen // Elements of space flight dynamics. - M . : Nauka , 1965. - S. 111-118. — 340 s. — (Rymdflygningens mekanik).
↑ Balk M. B., Demin V. G., Kunitsyn A. L. Lösning av Kepler-ekvationen // Samling av uppgifter om celestial mekanik och kosmodynamik. — M .: Nauka , 1972. — S. 63. — 336 sid.

Litteratur

D.E. Okhotsimsky , Yu.G. Sikharulidze. Grunderna i rymdfärdens mekanik. - Moskva: "Nauka", 1990.
V. E. Zharov. Sfärisk astronomi . - Fryazino, 2006. - S. 480 . — ISBN ISBN 5-85099-168-9 .
G. M. Fikhtengolts. Kurs för differential- och integralkalkyl. Volym 3
Lukyanov L.G., Shirmin G.I. Föreläsningar om celestial mekanik. - Almaty, 2009. - S. 276.

Himmelsk mekanik

Lagar och uppgifter	Newtons lagar Tyngdlagen Keplers lagar Två kroppsproblem Tre kroppsproblem Gravitationsproblem med N-kroppar Bertrands problem Keplers ekvation
Himmelssfär	Himmelskt koordinatsystem galaktisk horisontell ekvatorial ekliptika Internationellt himmelsk koordinatsystem Sfäriskt koordinatsystem världsaxeln Himmelska ekvatorn rätt uppstigning deklination Ekliptika Dagjämning Solstånd grundplan
Orbitparametrar _	Kepleriska element i omloppsbanan excentricitet halvstor axel betyda anomali stigande nod longitud periapsis argument Apocenter och periapsis Orbital hastighet Orbit nod Epok
Rörelse av himlakroppar	Solens och planeternas rörelse i himmelssfären Efemerid Planetkonfigurationer konfrontation förening kvadratur förlängning parad av planeter Förmörkelse solförmörkelse månförmörkelse saros Metonisk cykel Beläggning Genomgång klimax siderisk period synodisk period Rotationsperiod orbital resonans Equinox Prelude Närmande librering Tyngdkraftens omfattning Kozai effekt Yarkovsky effekt Dzhanibekov-effekt

Astrodynamik

Rymdfärd	rymdhastighet första (cirkulär) andra (parabolisk) tredje fjärde Tsiolkovskys formel Tyngdkraftsmanöver Hohmanns bana Metod för att oskulera element Tidvattenacceleration Orbital lutning förändring Interplanetära transportnät Dockning Lagrange poäng Pionjäreffekt
SC -banor	geostationär bana Heliocentrisk bana geosynkron bana geocentrisk bana geoöverföringsbana Låg jordbana polär bana Bana "Tundra" Solsynkron bana Orbit "Lightning" Oskulerande bana

Johannes Kepler
Vetenskapliga landvinningar	Keplers hypotes Keplers lagar Kepleriska element i omloppsbanan Kepler triangel Keplers ekvation Kepler-Poinsot kropp Supernova Kepler
Publikationer	Mysterium Cosmographicum (1596) Astronomia nova (1609) Epitome Astronomiae Copernicanae (1617–21) Harmonices Mundi (1619) Rudolfinbord (1627) somnium (1634)
En familj	Katharina Kepler (mamma) Jacob Barch (svärson)