Gassmanns ekvation

Gassmann- ekvationerna är ekvationer som relaterar de elastiska parametrarna för ett poröst medium mättat med en vätska eller gas. De används för att utvärdera de elastiska egenskaperna hos bergarter (utbredningshastigheten för elastiska vågor) i geofysiska studier av jordskorpan. Erhållen i approximationen av den linjära teorin om elasticitet , där ett homogent isotropiskt material kännetecknas av tre oberoende parametrar (eller kvantiteter som härrör från dem), till exempel: modul för bulkkompression , skjuvmodul och densitet . $K$ $G$ $\rho$

Elastiska egenskaper hos ett poröst medium

Den porösa mediummodellen som används i Gassmann-ekvationerna antar att materialet består av fasta och flytande (gasformiga) faser. Den fasta fasen bildar ett styvt ramverk (skelett) som kännetecknas av dess makroskopiska elasticitetsmoduler. Den flytande (gasformiga) fasen fyller helt det tomma utrymmet. I förhållande till sedimentära bergarters fysik representeras den fasta fasen av kristaller eller korn av stenbildande mineraler, och den flytande fasen representeras av vätskor som finns i bergets porösa utrymme. Det antas att tomrummet är jämnt fördelat inom ett sådant medium och dess egenskaper är oberoende av riktning ( isotrop ). Det huvudsakliga kännetecknet för tomrummet är porositet - förhållandet mellan volymen av tomrum och volymen av hela provet: . $\phi ={\frac {V_{por}}{V}}$

I likhet med metoden för "effektiva" medier , när man härleder Gassmann-ekvationerna, väljs ett sådant homogent isotropiskt material att under en applicerad belastning "i genomsnitt" beter sig på samma sätt som det mikroinhomogena porösa mediet som studeras. Således kännetecknas det tvåfasiga systemet i Gassmann-modellen av följande parametrar:

effektiva elasticitetsmoduler för det mättade materialet: ; $K,G,\rho$
porositet: ; $\phi$
elasticitetsmoduler för den fasta fasen (mineralsubstans) som utgör skelettet: ; ${\displaystyle K_{m},G_{m},\rho _{m))$
fluid elasticitetsmoduler: ; $K_{f},\rho _{f}$
effektiva elasticitetsmoduler för bergramverket (omättat): ; ${\displaystyle K_{torr},G_{torr))$

De senare beror både på mineralämnets egenskaper och på många andra faktorer (porutrymmets geometri, kornkontakternas natur, effektivt tryck etc.) och kan som regel inte beräknas explicit. Gassmann-ekvationssystemet förbinder de listade egenskaperna med varandra, vilket gör det möjligt att uttrycka vissa parametrar i termer av andra när man löser olika tillämpade problem (till exempel problemet med vätskeersättning ). Ett av antagandena som används i denna modell är antagandet att skjuvmodulen för ett tvåfasmedium är oberoende av egenskaperna hos den porfyllande vätskan. Därför (dock ). Mediets densitet är ett vägt medelvärde mellan densiteten hos den fasta fasen och densiteten hos vätskan. Sålunda ligger huvudinnebörden av Gassmann-ekvationerna i uttrycket för modulen för all-round komprimering av porösa mättade medier. I sin mest allmänna form har detta uttryck följande form: $G$ ${\displaystyle G=G_{torr))$ ${\displaystyle G_{torr}\neq G_{m))$

$F(K,K_{m},K_{torr},K_{f},\phi )=0;$

Vilken som helst av de fem parametrarna som ingår i denna ekvation som ett argument kan uttryckas i termer av de andra fyra.

Grundläggande notation

För att beräkna den effektiva elasticitetsmodulen för ett mättat material, används den explicita formen av Gassmann-ekvationerna:

K=K_{torr}+{\frac {\left(1-{\frac {K_{torr)){K_{m))}\right)^{2)){{\frac {\phi }{K_{f))}+{\frac {1-\phi }{K_{m))}-{\frac {K_{torr)){K_{m}^{2))))};

G=G_{torr};

\rho =\rho _{m}(1-\phi )+\rho _{f}\phi ;

Dessa uttryck gör det möjligt att uppskatta graden av påverkan av fyllmedelsvätskans elastiska parametrar på bergets egenskaper. Baserat på dem kan andra elastiska egenskaper hos ett poröst mättat medium beräknas. Till exempel:

längsgående våghastighet :

V_{P}={\sqrt {\frac {K+{\frac {4}{3}}G}{\rho }}};

skjuvvågshastighet : _

V_{S}={\sqrt {\frac {G}{\rho }}}={\sqrt {\frac {G_{torr}}{\rho }}};

Det bör noteras att, trots att vätskans egenskaper inte påverkar bergets skjuvmodul, ändras skjuvvågshastigheten med förändringen i vätsketyp på grund av inverkan av densiteten.

Elastiska moduler för det "torra" skelettet

För att beräkna de elastiska egenskaperna hos ett mättat poröst material med den explicita formen av Gassmann-ekvationen är det nödvändigt att ställa in parametrarna och . För detta används vanligtvis empiriska samband. Den generaliserade modellen för den kritiska porositeten hos Nur (A.Nur), som stämmer väl överens med experiment och bekräftas av resultaten av numerisk simulering [1] , har fått bred tillämpning : ${\displaystyle K_{torr))$ ${\displaystyle G_{torr))$

K_{dry}=K_{m}\left(1-{\frac {\phi}{\phi _{cr))}\right)^{a},\ \\phi <\phi _{ cr}

G_{dry}=G_{m}\left(1-{\frac {\phi }{\phi _{cr))}\right)^{b},\ \\phi <\phi _{ cr}

Här är den kritiska porositeten, och och är kontrollkoefficienterna kalibrerade mot mätresultaten. ${\displaystyle \phi _{cr))$ $a$ $b$

Den fysiska innebörden av kritisk porositet är den relativa volymen hålrum över vilka materialet förlorar styvhet (till exempel övergångspunkten från sandsten till sand eller från mättad sten till suspension). För ett porositetsvärde över det kritiska värdet, . I det här fallet förvandlas Gassmann-ekvationen till Wood-ekvationen . $K_{torr}=G_{torr}=0$

Värdena på parametrarna och beror på tomrummets geometri, kontaktens natur och formen på kornen och andra egenskaper hos stenskelettet. $a$ $b$

Flerkomponentsammansättning av den fasta fasen och vätskan

Som regel inkluderar sammansättningen av den fasta fasen av verkliga bergarter flera bergbildande mineral. I detta fall används olika medelvärdestekniker för att utvärdera mineralämnets elasticitetsmoduler . Som regel ger den självständiga fältmetoden goda resultat . Hill-medelvärdesmetoden kan också användas . $K_{m}$ $G_{m}$

Woods ekvation kan användas för att uppskatta modulen för all-round kompression av en vätska med dess flerkomponentsammansättning . Man bör dock komma ihåg att denna ekvation endast är tillämplig på oblandbara komponenter. För att till exempel utvärdera egenskaperna hos reservoarolja som innehåller en viss mängd naturgas i löst tillstånd kan det ge stora fel.

Grundläggande antaganden. Omfattning

Gassmann-ekvationerna kan användas både för att bestämma de statiska elasticitetsmodulerna och i det dynamiska fallet (till exempel för att uppskatta utbredningshastigheterna för seismiska vågor i bergarter). Men när ekvationerna härleds används följande antaganden, vilket begränsar omfattningen av denna teori:

Mineralskelettet och vätskan rör sig tillsammans (ingen glidning). Förändringen i bergets elementära volym är summan av förändringen i vätskans volym och volymen av den fasta fasen;
Vätskeegenskaper påverkar inte bergets skjuvmodul;
Spänningen i berget är summan av spänningen i skelettet och trycket i vätskan (portrycket);

Det första antagandet lägger begränsningar på frekvensområdet för signaler när man använder Gassmann-teorin i dynamiska problem. Vid tillräckligt kort våglängd kommer vätskefasen att "glida" i förhållande till bergskelettet. Som ett resultat kommer frekvensspridning av våghastigheten och energiförlust att observeras. Dessa effekter betraktas inom den mer allmänna Biot-Nikolaevskii-teorin , från vilken Gassmanns ekvationer kan härledas som ett specialfall.

Frekvensområdet inom vilket Gassmann-teorin beskriver den experimentella databrunnen uppskattas vanligtvis till 10 % av Biots resonansfrekvens :

f_{max}=0.1f_{Bio}=0.1{\frac {\eta \phi }{2\pi \kappa \rho _{f}}};

$\eta$ är vätskans dynamiska viskositet ,

$\kappa$ - materialets permeabilitetskoefficient ( bergets absoluta permeabilitet ).

Med högre frekvenssvängningar i ett poröst och permeabelt mättat medium uppstår förutom longitudinella och tvärgående vågor en longitudinell våg av det andra slaget .

För de flesta riktiga bergarter är Biots resonansfrekvens betydligt högre än 20-30 kHz. Detta gör det möjligt att använda Gassmann-ekvationerna i processen att tolka seismiska och ljuddata .

Tabellen nedan visar ett exempel på uppskattning av gränsfrekvensen för tillämpligheten av Gassmann-ekvationerna för några typiska värden för porositet och permeabilitet för verkliga vattenmättade bergarter.

Exempel på uppskattning av gränsfrekvens (kHz): $f_{{max}}$
	porositet
permeabilitet	tio%	tjugo%	trettio%	40 %
$\kappa$ = 1 mD	882	1764	2646	3528
$\kappa$ = 10 mD	88	176	265	353
$\kappa$ = 100 mD	9	arton	27	35

Andra former av skrivande

I ett antal tillämpade problem är det lämpligt att använda andra representationer av Gassmann-ekvationerna, som kan härledas från grundformen.

1. Implicit form

{\frac {K}{K_{m}-K}}={\frac {K_{torr}}{K_{m}-K_{torr}}}+{\frac {K_{f}} {\phi (K_{m}-K_{f))))));

2. Reuss form

{\frac {K}{K_{m}-K}}={\frac {K_{torr}}{K_{m}-K_{torr}}}+{\frac {K_{R}} {K_{m}-K_{R}}},

{\frac {1}{K_{R}}}={\frac {\phi }{K_{f}}}+{\frac {1-\phi}{K_{m}}};

3. Form Biot

K=K_{dry}+B^{2}M,

{\frac {1}{M}}={\frac {B-\phi }{K_{m}}}+{\frac {\phi}{K_{f}}};

B=1-{\frac {K_{torr}}{K_{m}}},

Värdet på Biot-koefficienten bestäms av tomrummets egenskaper. Det kan visas att denna parameter kännetecknar förhållandet mellan förändringen i porvolymen och förändringen i bergets totala volym under deformation. $B$

Nackdelar och begränsningar

Den största nackdelen med Gassmann-ekvationerna i praktiken är behovet av att specificera skelettets elastiska egenskaper , som beror på många faktorer och är svåra att utvärdera. $(K_{torr},G_{torr})$

Det är också viktigt att ta hänsyn till begränsningen av frekvenssammansättningen - vid en frekvens av elastiska svängningar större än Biot-frekvensen beskriver Gassmann-ekvationen dåligt de elastiska egenskaperna hos tvåfasmedier på grund av försummelsen av vätskerörelse i förhållande till fast fas.

Problem med vätskeersättning

Med hjälp av ovanstående ekvationer är det möjligt att uppskatta hur egenskaperna hos en mättad bergart med kända elastiska egenskaper kommer att förändras om typen av mättningsvätska ändras. Samtidigt, om vätskornas elasticitetsmoduler, såväl som mineralkomponenten i berget, är kända, är det inte nödvändigt att ställa in bergskelettets elastiska egenskaper för att lösa problemet. Denna uppgift är av stor praktisk betydelse för att bedöma graden av inverkan av olje- eller gasfyndigheter på resultaten av geofysiska undersökningar.

Se även

Länkar

Bergfysiker _

Litteratur

White J.E. Excitation och utbredning av seismiska vågor = Underjordiskt ljud / editor trans. N.N. Bubbla. — M .: Nedra, 1986. — 261 sid.
Gassmann, F. Uber Die elastizitat poroser medien // Vier, der Natur Gesellschaft. - 1951. - Nr 96 . - S. 1-23 . (tyska) (det finns en engelsk översättning )
Mavko G., Mukerji T., Dvorkin J. The Rock Physics Handbook. - Cambridge University Press, 2009. (engelska)
Nur, A., Mavko, G., Dvorkin, J. och Galmundi, D. Kritisk porositet: nyckeln till att relatera fysikaliska egenskaper till porositet i bergarter, Proc. 65th Ann Int. möte soc. Expl. Geophys.. - 1995. - Nr 878 . (Engelsk)
↑ Roberts, AP och Garboczi, EJ Elastiska egenskaper hos modellporös keramik // J. Amer. keramiska sällskapet. - 2000. - Nr 83 . - S. 3041-3048 . (Engelsk)