Darcys lag

Darcys lag ( Henri Darcy , 1856) är lagen om filtrering av vätskor och gaser i ett poröst medium . Historiskt sett erhölls lagen experimentellt av A. Darcy [1] , men kan erhållas genom medelvärde av Navier-Stokes ekvationer som beskriver flödet på en porskala [2] (för närvarande finns det bevis för porösa medier med en periodisk [ 3] [4] och slumpmässig [5] mikrostruktur). Uttrycker vätskefiltreringshastighetens beroende av tryckgradienten :

{\vec {u}}=-k{\vec {I)),

där: - filtreringshastighet, - filtreringskoefficient, - tryckgradient [ 6] . $\vec u$ $k$ ${\vec I}$

I teoretisk hydrodynamik

Inom grundläggande kontinuummekanik, när man studerar flöden av vätskor och gaser i ett poröst medium, används den differentiella formen av Darcys lag i stor utsträckning (här givet för rörelse i ett gravitationsfält ):

{\vec {u}}=-{\frac {K}{\eta }}\nabla \left(\rho gz+P\right),

var är det yttre trycket, är vätskedensiteten, är dess dynamiska viskositet , är gravitationsaccelerationen , är den vertikala koordinaten, är permeabilitetskoefficienten. $P$ $\rho$ $\eta$ $g$ $z$ $K$

Maktbalansekvationen

Darcys lag kan representeras som en kraftbalansekvation [7] :

-\nabla P-{\frac {\eta }{K}}{\vec {u}}+\rho {\vec {f}}=0,

var är fältet för yttre krafter, är den dynamiska viskositeten för en vätska eller gas, är permeabilitetskoefficienten . Permeabilitetskoefficienten kännetecknar förmågan hos ett poröst medium att passera vätska. $\vec f$ $\eta$ $K = \eta k / \rho g$

Det kompletta systemet med filtreringsekvationer för en inkompressibel vätska inkluderar också inkompressibilitetsvillkoret :

-\nabla P-{\frac {\eta }{K}}{\vec {u}}+\rho {\vec {f}}=0,

\operatörsnamn {div} {\vec {u}}=0.

Det nödvändiga gränsvillkoret för denna modell på fasta ytor är endast villkoret för ogenomtränglighet.

Potentiell form av lag

Vid en konstant permeabilitetskoefficient har filtreringshastighetsfältet en skalär potential , vilket gör det möjligt att skriva om systemet med filtreringsekvationer i form av Laplace-ekvationen [6] :

{\vec {u}}=-k\nabla h,\quad \Rightarrow \quad \exists \quad \Phi =kh,

var är trycket. $h$

Laplace-ekvationen med randvillkoret följer av inkompressibilitetsvillkoret:

\Delta \Phi =0,

\left.{\frac {\partial \Phi }{\partial n))\right|_{S}=\left.\left({\vec {n))\cdot \nabla \Phi \right )\right|_{S}=0,

var är normalvektorn till ytan. Gränsvillkoret på fasta ytor är villkoret att gradientens normalkomponent är lika med noll . ${\vec {n}}$ $\Phi$

I princip, i alla ekvationer ovan, kan fältet av kroppskrafter och tryckgradienten kombineras, vilket reducerar till en enkel tryckrenormalisering.

Tillämpligheten av Darcys lag

Darcys lag är tillämplig på filtrering av vätskor som omfattas av Newtons lag om viskös friktion (Navier-Stokes lag). För filtrering av icke-newtonska vätskor (såsom vissa oljor ) kan förhållandet mellan tryckgradient och filtreringshastighet vara icke-linjärt eller icke-algebraiskt alls (såsom differential).

För newtonska vätskor är omfattningen av Darcys lag begränsad till låga filtreringshastigheter ( Reynolds tal , beräknade från den karakteristiska porstorleken, är mindre än eller i storleksordningen enhet). Vid högre hastigheter är förhållandet mellan tryckgradienten och filtreringshastigheten icke-linjär (en god överensstämmelse med experimentdata ges av ett kvadratiskt beroende - Forchheimers filtreringslag).

Måttenheter

SI- enheten för permeabilitet är kvadratmetern . I praktiska tillämpningar används darcy ofta som en enhet (1 D ≈ 10 -12 m²).

Anteckningar

↑ Darcy Henry. Les fontaines publiques de la ville de Dijon: exposition et application des principes à suivre et des formules à employer dans les frågor de distribution d'eau... . - Paris: V. Dalmont, 1856. - VII + 647 sid.
↑ Leontiev N.E. Grunderna i filtreringsteorin . - M . : Förlag för CPI vid fakulteten för mekanik och matematik vid Moscow State University, 2009. - S. 24–29. — 88 sid.
↑ Bakhvalov N.S. , Panasenko G.P. Medelvärdesberäkning av processer i periodiska medier. — M .: Nauka, 1984. — S. 164–169. — 352 sid.
↑ Sanchez-Palencia E. Inhomogena medier och teorin om oscillationer / Pre. från engelska. ed. O.A. Oleinik. - M . : Mir, 1984. - S. 176. - 472 sid.
↑ Belyaev A.Yu. Medelvärde i problem i filtreringsteori . — M .: Nauka, 2004. — S. 76–127. — 200 s.
↑ 1 2 Polubarinova-Kochina P. Ya Teori om grundvattenrörelser. Arkivexemplar daterad 10 mars 2016 på Wayback Machine - M .: Nauka, 1977. - 664 sid.
↑ Basniev K. S., Kochina N. I., Maksimov M. V. Underground hydromechanics: en lärobok för universitet. - M.: Nedra, 1993. - 416 sid.

Länkar

Society of Petroleum Engineers (SPE) metrisk standard .

Se även

Darcy är en måttenhet för permeabilitet .
Porositet
Bernoullis lag