Kolmogorov-Chapmans ekvation

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 14 juli 2019; kontroller kräver 2 redigeringar .

Kolmogorov - Chapmans ekvation för en enparameterfamilj av kontinuerliga linjära operatorer i ett topologiskt vektorrum uttrycker semigruppegenskapen : $\mathbf {P} (t),\;t>0$

\mathbf {P} (t+s)=\mathbf {P} (t)\mathbf {P} (s).

Oftast används denna term i teorin om homogena Markov slumpmässiga processer , där är en operator som omvandlar sannolikhetsfördelningen vid det inledande ögonblicket till sannolikhetsfördelningen vid tidpunkten ( ). $\mathbf {P} (t),\;t\geq 0$ $t$ $\mathbf {P} (0)=\mathbf {1}$

För inhomogena processer anses två-parameterfamiljer av operatorer som omvandlar sannolikhetsfördelningen vid ett ögonblick till en sannolikhetsfördelning vid ett ögonblick. För dem har Kolmogorov-Chapman-ekvationen formen $\mathbf {P} (t,h),\;h>t>0$ $t>0$ $h>t>0.$

\mathbf {P} (t,s)=\mathbf {P} (t,h)\mathbf {P} (h,s),\;s>h>t>0.

För system med diskret tid tar parametrarna naturvärden . $t,h,s$

Kolmogorovs direkta och inversa ekvationer

Genom att formellt differentiera Kolmogorov–Chapman-ekvationen med avseende på , får vi den direkta Kolmogorov-ekvationen : $s$ $s=0$

{\frac {d{\mathbf {P}}(t)}{dt}}={\mathbf {P}}(t){\mathbf {Q}},

var

\mathbf {Q} =\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {P} (h)-\mathbf {1} }{h)).

Genom att formellt differentiera Kolmogorov-Chapman-ekvationen med avseende på , får vi den inversa Kolmogorov-ekvationen $t$ $t=0$

{\frac {d{\mathbf {P}}(t)}{dt}}={\mathbf {Q}}{\mathbf {P}}(t).

Det måste betonas att för oändliga dimensionella utrymmen är operatorn inte längre nödvändigtvis kontinuerlig, och kanske inte definieras överallt, till exempel för att vara en differentiell operator i distributionsutrymmet. ${\mathbf {Q}}$

Exempel

Betrakta homogena Markov slumpmässiga processer där operatorn för övergångssannolikheter ges av övergångstätheten : sannolikheten för övergång från region till region i tid är . Kolmogorov–Chapmans ekvation för densiteter har formen: $\mathbb {R} ^{n},$ ${\mathbf {P}}(t)$ $p(t,x,y)$ $U$ $W$ $t$ $\int \limits _{U}dx\,\int \limits _{V}dy\,p(t,x,y)$

p(t+s,x,y)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}p(t,x,z)p(s,z,y)\,dz.

Vid , tenderar övergångstätheten till δ-funktionen (i betydelsen av den svaga gränsen för generaliserade funktioner ): . Det betyder att Låt det finnas en gräns (även en generaliserad funktion) $t>0,\,t\to 0$ $p(t,x,y)$ $\lim _{t\to 0}p(t,x,y)=\delta (xy)$ $\lim _{t\to 0}\mathbf {P} (t)=\mathbf {1} .$

q(x,y)=\lim _{h\to 0}{\frac {p(h,x,y)-\delta (xy)}{h)).

Sedan agerar operatören på funktioner definierade på som och Kolmogorovs direkta ekvation tar formen ${\mathbf {Q}}$ $f(x)$ $\mathbb {R} ^{n},$ $(\mathbf {Q} f)(x)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}q(x,y)f(y)\,dy,$

{\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t))=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n))p(t,x,z)q (z,y)\,dz,

och den omvända Kolmogorov-ekvationen

{\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t))=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n))q(x,z)p(t ,z,y)\,dz.

Låt operatorn vara en andra ordningens differentialoperator med kontinuerliga koefficienter: ${\mathbf {Q}}$

(\mathbf {Q} f)={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}a^{ij}(x){\frac {\partial ^{2}f} {\partial x^{i}\partial x^{j))}+\sum _{j}b^{j}(x){\frac {\partial f}{\partial x^{j))} .

(detta betyder att det finns en linjär kombination av första och andra derivator med kontinuerliga koefficienter). Matrisen är symmetrisk. Låt det vara positivt definitivt vid varje punkt ( diffusion ). Den direkta Kolmogorov-ekvationen har formen $q(x,y)$ $\delta (xy)$ $a^{ij}$

{\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t))={\frac {1}{2))\summa _{i,j}{\frac {\partial ^ {2}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}}(a^{ij}(y)p(t,x,y))-\summa _{j}{\frac { \partial }{\partial y^{j}}}(b^{j}(y)p(t,x,y)).

Denna ekvation kallas Fokker-Planck-ekvationen . Vektorn i den fysiska litteraturen kallas driftvektorn, och matrisen är diffusionstensorn . Den omvända Kolmogorov-ekvationen i detta fall $b^{j}$ $a^{ij}$

{\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t))={\frac {1}{2))\summa _{i,j}a^{ij}(x ){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}p(t,x,y)+\summa _{j}b^{j}( x){\frac {\partial }{\partial x^{j))}p(t,x,y).

Se även

Litteratur

A. D. Wentzel ', En kurs i teorin om slumpmässiga processer. — M.: Nauka, 1996. — 400 sid.

Ordböcker och uppslagsverk	stor kines