Londons ekvation

Londons ekvation (i vissa källor - London-ekvationen) etablerar ett samband mellan ström och magnetfält i supraledare . Den erhölls först 1935 av bröderna Fritz och Heinz London [1] . Londons ekvation gav den första tillfredsställande förklaringen till Meissner-effekten , sönderfallet av magnetfältet i supraledare. Sedan, 1953, erhölls Pippard-ekvationen för rena supraledare.

London Equation

Den fullständiga innebörden av ordningsmekanismen i supraledning erkändes först av den teoretiska fysikern Fritz London [2] . När London insåg att en elektrodynamisk beskrivning baserad enbart på Maxwells ekvationer , inom gränsen för nollresistans, oundvikligen skulle förutsäga det irreversibla beteendet hos en ideal ledare och inte skulle ge den reversibla diamagnetismen hos en supraledare, introducerade London en ytterligare ekvation. Formen för denna ekvation kan erhållas på olika sätt, till exempel genom att minimera den fria energin med avseende på fördelningen av ström och fält [3] eller genom att anta den absoluta stelheten hos supraledande vågfunktioner med avseende på verkan av en extern fält; för våra syften räcker det dock att betrakta den som en intuitiv hypotes som fullt ut motiveras av dess framgång.

Ekvationen som föreslås av London är

{\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\operatörsnamn {rot} \mathbf {j} +\mathbf {B} =0,

där är strömtätheten, är den magnetiska induktionen, , m och q är massan och laddningen av supraledande strömbärare, och n är tätheten för dessa bärare. $\mathbf {j}$ $\mathbf {B}$ $\lambda^2 = \frac{mc^2}{4 \pi nq^2}$

London penetrationsdjup

Med hjälp av Maxwell-ekvationen kan man skriva London-ekvationen i formen [4] $\operatorname {rot} \mathbf {B} ={\frac {4\pi \mathbf {j} }{c))$

\mathbf {B} '+\lambda ^{2}\operatörsnamn {rot} \operatörsnamn {rot} \mathbf {B} '=0,

där B ′ är derivatan av vektor B med avseende på tiden t . Denna ekvation uppfylls av B = konst. Men en sådan lösning är inte förenlig med Meissner-Ochsenfeld-effekten, eftersom det måste finnas ett fält B = 0 inuti supraledaren. Den extra lösningen visade sig eftersom tidsdifferentieringsoperationen användes två gånger i härledningen. För att automatiskt utesluta denna lösning, introducerade Londons hypotesen att i den sista ekvationen skulle derivatan B ′ ersättas med själva vektorn B . Detta ger

\mathbf {B} +\lambda ^{2}\operatörsnamn {rot} \operatörsnamn {rot} \mathbf {B} =0.

Lösningen av denna ekvation i det supraledande området med mycket större linjära dimensioner är $\lambda$

\mathbf {B} (\xi )=\mathbf {B} (0)\exp {\frac {-\xi }{\lambda )),

var är induktionen på ett djup under ytan. Parametern har dimensionen längd och kallas Londons penetrationsdjup för magnetfältet. Det vill säga magnetfältet penetrerar supraledaren endast till ett djup av . För metaller µm. $\mathbf{B}(\xi)$ $\xi$ $\lambda$ $\lambda$ ${\displaystyle \lambda \sim 10^{-2))$

Superledningsförmågans natur

London-ekvationen ger nyckeln till att förstå karaktären av supraledande ordning. Introduktion av vektorpotentialen , där , med hjälp av mätaren och med tanke på en enkelt ansluten supraledare, kommer vi fram till Londons ekvation i formen $\mathbf {A}$ $\operatorname {rot} \mathbf {A} =\mathbf {B}$ $\operatörsnamn{div} \mathbf{A} = 0$

{\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\mathbf {j} +\mathbf {A} =0.

I närvaro av en vektorpotential ges det generaliserade momentum för en laddad partikel av

\mathbf {P} =\sum \mathbf {p} =2\summa \left(m\mathbf {v} +{\frac {q\mathbf {A} }{c}}\right)

Medelmomentet per partikel kan skrivas som

{\bar {\mathbf {p} }}={\frac {q}{c}}\left({\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\mathbf {j } +\mathbf {A} \right)=0.

Därför beror den supraledande ordningen på kondensationen av strömbärare i ett tillstånd med minsta möjliga momentum . Samtidigt följer det av osäkerhetsprincipen att motsvarande rumsliga ordningsskala är oändlig, det vill säga vi får oändlig ”koherens” och omöjligheten att påverka elektronsystemet av fält lokaliserade i rymden. $\mathbf{P} = 0$

Londons första ekvation

Rörelseekvationen för en volymenhet av supraledande elektroner i ett elektriskt fält har formen

nm{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=ne\mathbf {E} ,

där , , är koncentrationen, hastigheten och massan av (supraledande) elektroner. Genom att introducera överströmstätheten enligt , får vi den första Londons ekvation: $n$ $\mathbf{v}$ $m$ $\mathbf{j} = inte \mathbf{v}$

\mathbf {E} ={\frac {d}{dt}}(\Lambda \mathbf {j} ),\quad \Lambda ={\frac {m}{ne^{2}}}.

Andra Londons ekvation (härledning)

Låt oss använda Maxwells ekvationer i formen

\operatorname {rot} \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j}

för att hitta volymdensiteten för den kinetiska energin för supraledande elektroner:

\mathbf {W} _{k}={\frac {nmv^{2}}{2}}={\frac {mj^{2}}{2ne^{2}}}={\frac {\lambda ^{2}}{8\pi }}(\operatörsnamn {rot} \mathbf {H} )^{2},

var $\lambda ^{2}={\frac {mc^{2}}{4\pi ne^{2}}}.$

Dessutom är volymdensiteten för magnetisk energi , då kan den fria energin skrivas som ( är fri energi utan magnetfält) integral över supraledarens volym: ${\frac {H^{2}}{8\pi }}$ $F_{0}$

F=F_{0}+{\frac {1}{8\pi }}\int [H^{2}+\lambda ^{2}(\operatörsnamn {rot} \mathbf {H} )^ {2}]\,dV.

Den första variationen över fältet är lika med

\delta F={\frac {1}{8\pi }}\int [2\mathbf {H} \,\delta \mathbf {H} +2\lambda ^{2}\operatörsnamn {rot} \mathbf {H} \operatörsnamn {rot} \delta \mathbf {H} ]\,dV={\frac {1}{4\pi }}\int [\mathbf {H} +\lambda ^{2}\ operatornamn {rot} \operatörsnamn {rot} \mathbf {H} ]\,\delta \mathbf {H} \,dV-{\frac {\lambda ^{2}}{4\pi }}\int \operatornamn { div} [\operatörsnamn {rot} \mathbf {H} ;\delta \mathbf {H} ]\,dV=0.

Med hänsyn till att den andra integralen är lika med noll (enligt Gauss-Ostrogradsky-formeln reduceras den till en integral över ytan, där variationen sätts till noll), har vi

\mathbf {H} +\lambda ^{2}\operatörsnamn {rot} \operatörsnamn {rot} \mathbf {H} =0,

som tillsammans med uttrycket för vektorpotentialen , den första Londons ekvation och valet av Londonmätaren , ger den nödvändiga ekvationen: $\mathbf {j} =-{\frac {c}{4\pi \lambda ^{2))}\mathbf {A}$ $\operatörsnamn {div} (\mathbf {A} )=0$ $\mathbf {A} \mathbf {n} =0$

{\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\operatörsnamn {rot} \mathbf {J} +\mathbf {B} =0.

Se även

Pippards ekvation

Anteckningar

↑ London, F.; H. London. Supraledarens elektromagnetiska ekvationer // Proc . Roy. soc. (London) : tidskrift. - 1935. - Mars ( vol. A149 , nr 866 ). — S. 71 .
↑ F. London , Superfluids, vol. 1. Wiley, New York, 1950.
↑ P.G. de Gennes , Superconductivity of Metals and Alloys. Benjamin, New York. 1966 (se översättning: M., Mir, 1968).
↑ Sivukhin. DV Allmän kurs i fysik. Proc. bidrag: För universitet. I 5 volymerna T III. Elektricitet. - 4:e upplagan. - M. : MIPT, 2004. - S. 321–322. — 656 sid. — ISBN 5-9221-0227-3 . - ISBN 5-89155-086-5 .

Litteratur

Tilly D.R., Tilly J. Superfluiditet och supraledning. — M .: Mir, 1977. — 304 sid.