Yang-Baxters ekvation

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 19 juli 2020; verifiering kräver 1 redigering .

Yang-Baxter- ekvationen (faktoriseringsekvation, triangelekvation) är en ekvation som tillhör klassen av exakt lösbara problem . Den har formen av lokala ekvivalenstransformationer som förekommer i en mängd olika fall, såsom elektriska kretsar , knutteori och flätteori , spinnsystem . Den har fått sitt namn från C. N. Youngs oberoende arbete 1968 och R. D. Baxter 1971 inom statistisk mekanik .

Parameterberoende Yang-Baxter-ekvation

Beteckna med den associativa algebra med enhet . Den parameterberoende Yang-Baxter-ekvationen är ekvationen för det parameterberoende inverterbara elementet av tensorprodukten av algebror (här parametern , som vanligtvis varierar över alla reella tal i fallet med en additiv parameter, eller över alla positiva reella siffror i fallet med en multiplikativ parameter). I fallet med en additiv parameter är Yang-Baxter-ekvationen den funktionella ekvationen $A$ $R(u)$ $A\otimes A$ $u$

R_{12}(u)\ R_{13}(u+v)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(u+v)\ R_{12 }(u),

till en funktion i vilken två variabler och substitueras på angivet sätt . Hos vissa kan det förvandlas till en endimensionell projektor , vilket leder till en kvantdeterminant. För en multiplikativ parameter har Yang-Baxter-ekvationen formen $R$ $u$ $v$ $u$ $R(u)$

R_{12}(u)\ R_{13}(uv)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(uv)\ R_{12}(u) ,

till funktionen , där , , och , för alla värden på parametern , och , , och , är algebramorfismer definierade som $R$ $R_{12}(w)=\phi _{12}(R(w))$ $R_{13}(w)=\phi _{13}(R(w))$ $R_{23}(w)=\phi _{23}(R(w))$ $w$ $\phi _{12}:A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$ $\phi _{13}:A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$ $\phi _{23}:A\otimes A\to A\otimes A\otimes A$

\phi _{12}(a\otimes b)=a\otimes b\otimes 1,

\phi _{13}(a\otimes b)=a\otimes 1\otimes b,

\phi _{23}(a\otimes b)=1\otimes a\otimes b.

I vissa fall är det avgörande[ tvetydigt ] kan omintetgöra vid vissa värden av den spektrala parametern och ibland förvandlas till en endimensionell projektor. I detta fall kan kvantdeterminanten bestämmas. $R(u)$ ${\displaystyle u=u_{0))$ $R(u)$

Den parameteroberoende Yang-Baxter-ekvationen

Beteckna med den associativa algebra med enhet . Den parameteroberoende Yang-Baxter-ekvationen är ekvationen för , det inverterbara elementet i tensorprodukten av algebror . Yang-Baxter-ekvationen har formen $A$ $R$ $A\otimes A$

R_{12}\ R_{13}\ R_{23}=R_{23}\ R_{13}\ R_{12},

var , , och . $R_{12}=\phi _{12}(R)$ $R_{13}=\phi _{13}(R)$ $R_{23}=\phi _{23}(R)$

Låt vara en modul över . Låt en linjär karta tillfredsställande för alla . Sedan kan representationen av flätgruppen , , konstrueras på för , där på . Denna representation kan användas för att bestämma kvasi-invarianter av flätor , knutar . $V$ $A$ $T:V\otimes V\to V\otimes V$ $T(x\otimes y)=y\otimes x$ $x,y\in V$ $B_n$ ${\displaystyle V^{\otimes n))$ ${\displaystyle \sigma _{i}=1^{\otimes i-1}\otimes {\check {R))\otimes 1^{\otimes ni-1))$ $i=1,\dots ,n-1$ ${\check {R}}=T\circ R$ $V\otimes V$

Litteratur

H.D. Doebner, J.-D. Hennig, red., Quantum groups, Proceedings of the 8th International Workshop on Mathematical Physics, Arnold Sommerfeld Institute, Clausthal, FRG, 1989 , Springer-Verlag Berlin, ISBN 3-540-53503-9 .
Vyjayanthi Chari och Andrew Pressley, A Guide to Quantum Groups , (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0 .
Jacques HH Perk och Helen Au-Yang, "Yang–Baxter Equations", (2006), arXiv : math-ph/0606053 .
Manin Yu. I. Introduktion till teorin om scheman och kvantgrupper. - M. : MTSNMO, 2012. - 256 sid. - ISBN 978-5-94057-635-8 .