Sommerfeld strålningsförhållanden

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 januari 2019; verifiering kräver 1 redigering .

Helmholtz ekvation [1] :

\Delta U+k^{2}U=f

- har mer än en lösning i klassen av ( generaliserade ) funktioner som försvinner i oändligheten. För att isolera lösningens unika klass (av bekvämlighetsskäl, välj en specifik lösning) i obegränsade domäner är det nödvändigt att kräva ytterligare begränsningar för lösningen vid oändlighet. Dessa restriktioner var strålningsförhållandena i Sommerfeld:

u(x)=O\left({\frac {1}{|x|}}\right),\quad {\frac {\partial u(x)}{\partial |x|}}- iku(x)=o\left({\frac {1}{|x|}}\right),\quad |x|\to \infty \qquad \left(1\right)

eller

u(x)=O\left({\frac {1}{|x|}}\right),\quad {\frac {\partial u(x)}{\partial |x|}}+ iku(x)=o\left({\frac {1}{|x|}}\right),\quad |x|\to \infty \qquad \left({\overline {1}}\right)

Strålningsförhållandena motsvarar vågor som går till oändligheten, och förhållandena motsvarar vågor som kommer från oändligheten. För harmoniska funktioner följer strålningsförhållandena av ett enda krav: . Det kan också visas att för varje lösning av den homogena Helmholtz-ekvationen som uppfyller det andra av villkoren eller uppfyller det första villkoret: $\left(1\right)$ $\left({\overline {1}}\right)$ $\left(k=0\right)$ $u\left(\infty\right)=0$ $k>0$ $\left(1\right)$ $\left({\overline {1}}\right)$ $u(x)=O\left({\frac {1}{|x|}}\right)$

Anteckningar

↑ Vladimirov V.S. "Equations of matematisk fysik", M., "Nauka", 1981, s.438-439

Litteratur

A. Sommerfeld . Die Greensche Funktion der Schwingungsgleichung // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. - 1912. - Vol. 21. - P. 309-353.
S.H. Schot. Åttio år av Sommerfelds strålningstillstånd // Historia Mathematica. - 1992. - Vol. 19. - s. 385-401.
S. V. Molodtsov. Sommerfeld strålningsförhållanden // Physical Encyclopedia