Fyllningsradie

Känslaradie är en metrisk egenskap hos ett Riemann-grenrör .

Föreslog av Gromov 1983. Han använde fyllningsradien för att bevisa den systoliska ojämlikheten för väsentliga grenrör .

Kurvor i planet

Fyllningsradien ( ) för en sluten kurva C i planet definieras som den största radien av en cirkel som finns inom kurvan. $\mathrm {FillRad} (C\subset \mathbb {R} ^{2})$ $R>0$

Fyllningsradien för en kurva C kan också definieras som den minsta infimum av sådan att kurvan C krymper till en punkt i dess grannskap. $\varepsilon >0$ $\varepsilon$

Definition

Beteckna med A ringen eller , beroende på om X är orienterbart eller inte. $\mathbb {Z}$ ${\mathbb {Z}}_{2}$

Sedan är grundklassen , betecknad [X] , för ett kompakt n - dimensionellt grenrör X , en generator av homologigruppen , och vi sätter $H_{n}(X;A)\simeq A$

\mathrm {FillRad} (X)=\inf \left\{\varepsilon >0\mid \iota _{\varepsilon }([X])=0\in H_{n}(U_{\varepsilon } X)\right\},

där betecknar Kuratowski-inbäddningen av X i utrymmet för avgränsade funktioner på X . ${\displaystyle \iota _{\varepsilon ))$

Egenskaper

I vilken dimension som helst finns det en konstant som ojämlikheten $n$ $c_n$ $(\mathrm {FillRad} \,M)^{n}\leq c_{n}\cdot \mathrm {vol} \,M$

håller för alla stängda Riemann- dimensionella grenrör .

n

M

Detta är huvudegenskapen hos fyllningsradien, som används av Gromov för att bevisa den systoliska ojämlikheten; ett bevis med betydande förenklingar och en förbättrad konstant ges av Alexander Nabutovsky. [ett]
För ett givet grenrör med minst 3 dimensioner, den optimala konstanten i ojämlikheten $M$ $c(M)$

(\mathrm {FillRad} \,(M,g))^{n}\leq c(M)\cdot \mathrm {vol} \,(M,g)

avundas endast på dimensionen och dess orienterbarhet. [2]

M

Fyllningsradien överstiger inte en tredjedel av diametern. [3]
- Jämlikhet uppnås för ett verkligt projektivt utrymme med en kanonisk metrik.
  - I synnerhet är fyllningsradien för enhetscirkeln med den inducerade Riemann-metriken π/3, det vill säga en sjättedel av dess längd.

Systolen för ett väsentligt grenrör överstiger inte sex av dess fyllningsradier.
- Denna ojämlikhet blir en jämlikhet för verkliga projektiva rum, som nämnts ovan.

Injektionsradien för ett kompakt grenrör M ger en nedre gräns för fyllningsradien. Nämligen, $\mathrm {FillRad} M\geq {\frac {\mathrm {InjRad} M}{\dim M+1)).$

Anteckningar

↑ Alexander Nabutovsky, Linjära gränser för konstanter i Gromovs systoliska ojämlikhet och relaterade resultat. arXiv : 1909.12225
↑ Brunnbauer, Michael, Att fylla ojämlikheter beror inte på topologi. J. Reine Angew. Matematik. 624 (2008), 217–231.
↑ Katz, M.: Fyllningsradien för tvåpunktshomogena utrymmen. Journal of Differential Geometry 18, nummer 3 (1983), 505–511.

Litteratur

Gromov, M.: Filling Riemannian manifolds, Journal of Differential Geometry 18 (1983), 1-147.
Katz, M.: Fyllningsradien för tvåpunktshomogena utrymmen. Journal of Differential Geometry 18, nummer 3 (1983), 505-511.
Katz , Mikhail G. (2007), Systolic geometri and topology , vol. 137, Mathematical Surveys and Monographs, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4177-8 , OCLC 77716978