Fluktuations-förlustsats

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 1 oktober 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Fluktuationsförlustsatsen [1] är en statistisk fysiks sats som kopplar samman fluktuationerna i ett system (deras spektrala täthet ) med dess dissipativa egenskaper. PDT härleds från antagandet att systemets respons på en liten yttre åtgärd är av samma karaktär som responsen på spontana fluktuationer.

Fluktuations-förlustsatsen gör det möjligt att beräkna sambandet mellan molekyldynamiken i ett system i ett tillstånd av termodynamisk jämvikt och det makroskopiska beteendet hos systemet som observeras vid dynamiska mätningar. Således kan modeller av systemet på molekylär nivå användas för att kvantitativt förutsäga materialens linjära makroskopiska egenskaper.

Avvikelsen i beteendet hos (även icke-jämvikts-) system från fluktuations-förlustsatsen är orsaken till publikationer i ledande vetenskapliga tidskrifter. [2]

Formulering

Om svaret på en yttre påverkan kan representeras som $x(t)$ $med)$

x(t)=\int \alpha (\tau )f(t-\tau )d\tau

eller

{\tilde x}(\omega )={\tilde \alpha }(\omega ){\tilde f}(\omega )

sedan, enligt ekvation 124.9 från volymen "Statistical Mechanics" (L. D. Landau och E. M. Lifshits) [3] , är den spektrala tätheten av fluktuationer för en termodynamisk storhet relaterad till den imaginära delen av den generaliserade susceptibiliteten enligt följande: $S_{x}$ $\alpha ''(\omega )=\mathrm {Im} \,{\tilde {\alpha }}(\omega )$

S_{x}(\omega )=\hbar \alpha ''(\omega )\coth \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{B}T}}\right)

medan medelkvadratfluktuationen av den termodynamiska storheten $\langle x^{2}\rangle$

\langle x^{2}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\hbar \alpha ''(\omega )\coth(\hbar \omega /2k_{B}T) {\frac {d\omega }{2\pi }}

Det är lätt att se att i det klassiska fallet ( ) blir formeln $k_{B}T\gg \hbar \omega$

S_{x}(\omega )={\frac {2k_{B}T}{\omega }}\alpha ''(\omega )

och i kvantum ( ) $T\högerpil 0$

S_{x}(\omega )=\hbar \alpha ''(\omega )

Det är också värt att notera att eftersom den spektrala tätheten för en stationär process måste vara jämn, används ofta i stället för den spektrala tätheten ensidig spektral densitet , som endast definieras för den positiva frekvenshalvaxeln. En sådan spektral densitet är redan integrerad från till . $S_{x}$ $S_{x}^{+}=2S_{x}$ $0$ $\infty$

Exempel

Brownsk rörelse

Einstein noterade i sin artikel om Brownsk rörelse ( 1905 ) att samma slumpmässiga krafter som orsakar slumpmässig gång i Brownsk rörelse också orsakar viskös friktion som verkar på partiklar när de rör sig genom en vätska. Med andra ord, fluktuationer i partiklarnas koordinater i förhållande till deras viloläge är av samma karaktär som den dissipativa friktionskraft som måste övervinnas för att ändra systemet i en viss riktning.

Från sina observationer, med hjälp av metoderna för statistisk fysik, härledde han ett oväntat samband mellan systemets parametrar - Einstein-Smoluchowski-relationen :

D={\mu \,k_{B}T}

relaterar D , diffusionskoefficienten , och μ , partikelns rörlighet ( μ uttrycks som förhållandet mellan partikelns hastighet och den applicerade kraften, μ = v d / F ), är Boltzmann-konstanten och T är den absoluta temperaturen . $k_{B}$

Nyquist formel

År 1928 upptäckte John B. Johnson och Harry Nyquist förklarade fenomenet termiskt brus . I frånvaro av ström som flyter genom det elektriska motståndet beror RMS-spänningen på motståndet och mätbandbredden : $R$ $k_{B}T$ $\Delta \nu$

\langle V^{2}\rangle =4Rk_{B}T\Delta \nu

. Slutsats

I elektriska ledare är de mest stabila fluktuationerna de som leder till uppkomsten av stående vågor . Antalet stående elektromagnetiska vågor med en frekvens från till i en ledare av längd , med hänsyn till polarisation, är lika med . Vi antar att varje stående våg har en energi som motsvarar energin hos en harmonisk oscillator. Då blir energin för stående vågor med frekvens från till . Effekten per längdenhet av kedjan är . All energi från fluktuationsströmmarna förvandlas igen till värme vid motståndet. Effektförlusten per längdenhet för en ledare med resistans enligt Joule-Lenz-lagen är , där är medelkvadraten för fluktuationen EMF för vågor med frekvensen . Vi får Nyquistformeln [4] . $\nu$ $\nu +d\nu$ $L$ $dn(\nu )=2\cdot {\frac {2Ld\nu}{c}}$ $k_{B}T$ $\nu$ $\nu +d\nu$ $dE(\nu )=4\cdot {\frac {L}{c}}d\nu k_{B}T$ $dW={\frac {dE(\nu )}{\frac {L}{c}}}=4k_{B}Td\nu$ $R$ ${\frac {dW(\nu )}{d\nu }}={\frac {\langle {V^{2}}\rangle (\nu)}{R}}$ $\langle V^{2}\rangle$ $\nu$ $\langle V^{2}\rangle =4Rk_{B}T\Delta \nu$

Litteratur

↑ Herbert B. Callen och Theodore A. Welton. "Irreversibilitet och generaliserat brus", Phys. Varv. 83 , 34 (1951) doi : 10.1103/PhysRev.83.34
↑ Mizuno D. et al . "Nonequilibrium Mechanics of Active Cytoskeletal Networks", Science 315 , 370 (2007) doi : 10.1126/science.1134404
↑ Landau L. D. , Lifshits E. M. Statistisk fysik. Del 1. - Upplaga 5:e. — M .: Fizmatlit , 2001. — 616 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym V). — ISBN 5-9221-0054-8 .
↑ Nozdrev V.F., Senkevich A.A. Kurs i statistisk fysik. - M., Högre skola, 1969. - sid. 189