Spektral densitet

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 juni 2016; kontroller kräver 3 redigeringar .

Inom statistisk radioteknik och fysik, när man studerar deterministiska signaler och slumpmässiga processer , används deras spektrala representation i form av spektral densitet, som är baserad på Fourier-transformen , i stor utsträckning .

Om processen har en ändlig energi och är kvadratisk integrerbar (och detta är en icke-stationär process), då för en implementering av processen kan Fouriertransformen definieras som en slumpmässig komplex funktion av frekvens: $x(t)$

X(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i2\pi ft}dt.

(ett)

Det visar sig dock vara nästan värdelöst för att beskriva ensemblen. Vägen ut ur denna situation är att förkasta vissa parametrar i spektrumet, nämligen fasspektrumet, och konstruera en funktion som kännetecknar fördelningen av processens energi längs frekvensaxeln. Sedan, enligt Parsevals teorem , energin

E_{x}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty } |X(f)|^{2}df.

(2)

Funktionen karakteriserar alltså fördelningen av realiseringsenergi längs frekvensaxeln och kallas realiseringens spektrala täthet. Genom att medelvärdet av denna funktion över alla realiseringar kan man erhålla processens spektrala täthet. ${\displaystyle S_{x}(f)=|X(f)|^{2))$

Låt oss nu övergå till en i stort sett stationär centrerad stokastisk process , vars realiseringar har oändlig energi med sannolikhet 1 och därför inte har en Fouriertransform. Effektspektraltätheten för en sådan process kan hittas baserat på Wiener-Khinchin-satsen som Fouriertransformen av korrelationsfunktionen: $x(t)$

S_{x}(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }k_{x}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau .

(3)

Om det finns en direkt transformation, så finns det också en invers Fourier-transform , som bestämmer från det kända : $S_{x}(f)$ $k_{x}(\tau )$

k_{x}(\tau )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)e^{i2\pi f\tau }df.

(fyra)

Om vi antar i formlerna (3) och (4) respektive , har vi $f=0$ $\tau=0$

S_{x}(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }k_{x}(\tau )d\tau ,

(5)

\sigma _{x}^{2}=k_{x}(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)df.

(6)

Formel (6), med hänsyn till (2), visar att dispersionen bestämmer den totala energin för en stationär slumpmässig process, som är lika med arean under den spektrala densitetskurvan. Det dimensionella värdet kan tolkas som andelen energi koncentrerad i ett litet frekvensområde från till . Om vi förstår med slumpmässig (fluktuation) ström eller spänning, kommer värdet att ha dimensionen energi [V 2 / Hz] = [V 2 s]. Därför kallas det ibland för energispektrum . I litteraturen kan du ofta hitta en annan tolkning: - betraktas som den genomsnittliga effekt som frigörs av ström eller spänning vid ett motstånd på 1 ohm. I det här fallet kallas värdet för effektspektrumet för en slumpmässig process. $S_{x}(f)df$ $f-df/2$ $f+df/2$ $x(t)$ $S_{x}(f)$ $S_{x}(f)$ $\sigma _{x}^{2}$ $S_{x}(f)$

Spektraldensitetsegenskaper

Energispektrumet för en stationär process (verklig eller komplex) är ett icke-negativt värde:

S_{x}(f)\geq 0

(7)

Energispektrumet för en verklig stationär i vid mening av en slumpmässig process är en verklig och jämn funktion av frekvens:

S_{x}(-f)=S_{x}(f)

(åtta)

Korrelationsfunktionen och energispektrumet för en i stort sett stationär slumpmässig process har alla egenskaper som är karakteristiska för ett par inbördes Fouriertransformer . I synnerhet, ju "bredare" spektrum , desto "smalare" är korrelationsfunktionen , och vice versa. Detta resultat kvantifieras som en osäkerhetsprincip eller relation. $k_{x}(\tau )$ $S_{x}(f)$ $S_{x}(f)$ $k_{x}(\tau )$

Se även

Litteratur

Zyuko, A. G. , Klovsky, D. D. , Nazarov, M. V. , Fink, L. M. Teori för signalöverföring. - M . : Kommunikation, 1980. - 288 sid.
Tikhonov, V. I. , Kharisov, V. N. Statistisk analys och syntes av radiotekniska enheter och system. - M . : Radio och kommunikation, 2004. - 608 sid. - ISBN 5-256-01701-2 .
Tikhonov, V. I. , Bakaev, Yu. N. Statistisk teori för radiotekniska enheter. - M . : VVIA im. prof. N. E. Zhukovsky , 1978. - 420 sid.