Dödande form

Killing-formen är en symmetrisk bilinjär form på en Lie-algebra av en viss typ.

Historik

The Killing form introducerades av Cartan i sin avhandling. Namnet "Killing form" introducerades först av Borel 1951 för att hedra Wilhelm Killing . 2001 uppgav han att han inte minns varför han valde just detta namn och hävdar att det skulle vara mer korrekt att kalla det "Cartans form" [1] .

Definition

Betrakta en Lie-algebra över ett fält . Varje element definierar en endomorfism $\mathfrak{g}$ $K$ $x$ $\mathfrak{g}$ $\mathrm {ad} _{x}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$

\mathrm {ad} _{x}\colon z\mapsto [x,z],

var är Lie-parentesen. Antag att den har en ändlig dimension. Sedan definierar sammansättningsspåret av sådana endomorfismer en symmetrisk bilinjär form $[{*},{*}]$ $\mathfrak{g}$

B(x,y)=\mathrm {spår} (\mathrm {ad} _{x}\circ \mathrm {ad} _{y})

med värden i . Denna form kallas Killing form på [2] . $K$ $B$ $\mathfrak{g}$

Egenskaper

Killing-formen är bilinjär och symmetrisk.
Killing-formen är en invariant form, d.v.s. $B([x,y],z)=B(x,[y,z]),$

var är Lie-parentesen.

[{*},{*}]

Om är en enkel Lie-algebra , då är varje invariant symmetrisk bilinjär form på proportionell mot Killing-formen. $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$
Killing-formen är också invariant under Lie-algebra-automorfismer, d.v.s. $B(s(x),s(y))=B(x,y)$

var .

s\in Aut({\mathfrak {g)))

I synnerhet är det vänsterinvarianta formfältet på motsvarande Lie-grupp, som sammanfaller med vid identiteten, också högerinvariant, och därmed bi-invariant. $B$

Cartan-kriteriet säger att en Lie-algebra är halvenkel om och endast om Killing-formen är icke-degenererad.
Den dödande formen av en nilpotent algebra är identiskt noll.
Om och är två ideal i Lie-algebra med noll skärningspunkt, då och bildar ortogonala delrum med avseende på Killing-formen. $jag$ $J$ $\mathfrak{g}$ $jag$ $J$
Det ortogonala komplementet med avseende på idealet med avseende på Killing-formen är också ett ideal.
Om en Lie-algebra är en direkt summa av dess ideal, så är dess Killing-form en direkt summa av Killing-former på individuella termer. [3]

Se även

Casimir invariant

Anteckningar

↑ Borel, Armand. Uppsatser i Lie-gruppers och algebraiska gruppers historia. - American Mathematical Society och London Mathematical Society, 2001. - Vol. 21. - (Matematikens historia).
↑ William Fulton, Joe Harris. Representation Theory (engelska) // Graduate Texts in Mathematics. - 2004. - ISSN 2197-5612 0072-5285, 2197-5612 . - doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 .
↑ Intro till Lie-grupper och Lie-algebror . www.math.stonybrook.edu . Hämtad 21 juni 2021. Arkiverad från originalet 20 september 2021. (obestämd)