Total sannolikhetsformel

Den totala sannolikhetsformeln låter dig beräkna sannolikheten för en händelse av intresse genom de villkorade sannolikheterna för denna händelse, under antagande av vissa hypoteser, såväl som sannolikheterna för dessa hypoteser.

Formulering

Låt ett sannolikhetsutrymme ges , och en komplett grupp av parvis inkompatibla händelser så att $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $\{B_i\}_{i=1}^{n} \subset \mathcal{F}$

$\forall i \; \mathbb{P}\; (B_i) > 0;$
$\forall{j \ne i} \; B_i \cap B_j = \varnothing ;$
$\bigcup _{i=1}^{n}B_{i}=\Omega .$

Låt vara evenemanget av intresse för oss. Då får vi: $A\in {\mathcal {F}}$

\mathbb{P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} \mathbb{P}( A \mid B_i) \mathbb{P}(B_i)

.

Notera

Den totala sannolikhetsformeln har också följande tolkning. Låta vara en slumpvariabel med fördelning $N$

\mathbb{P}(N=n) = \mathbb{P}(B_n)

.

Sedan

\mathbb{P}(A) = \mathbb{E}\left[\mathbb{P}(A\mid N)\right]

,

de där. den tidigare sannolikheten för en händelse är lika med medelvärdet av dess bakre sannolikhet .

Se även