Fuchsisk singular punkt

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 21 mars 2017; kontroller kräver 3 redigeringar .

I teorin om differentialekvationer med komplex tid kallas en punkt en fuchsisk singularpunkt i en linjär differentialekvation $t=t_{0}\in \mathbb {C}$

{\dot {z}}=A(t)z,\quad z\in \mathbb {C} ^{n},\quad t\in \mathbb {C} ,

om systemmatrisen A(t) har en första ordningens pol i sig. Detta är den enklaste möjliga singulariteten för en linjär differentialekvation med komplex tid.

Det sägs också att det är en fuchsisk singularpunkt om punkten visar sig vara fuchsisk efter förändringen , med andra ord om systemets matris tenderar att bli noll i oändligheten. $t=\infty$ $s=0$ $t=1/s$ $På)$

Det enklaste exemplet

En endimensionell differentialekvation har en fuchsisk singularpunkt vid noll, och dess lösningar är (i allmänhet flervärdiga ) funktioner . När man går runt noll multipliceras lösningen med . ${\dot {z}}={\frac {a}{t}}z$ ${\displaystyle z(t)=C\cdot t^{a))$ $\lambda =e^{2\pi ia}$

Tillväxt av lösningar och monodromi kartläggning

När man närmar sig en fuchsisk singularpunkt i någon sektor växer lösningens norm inte snabbare än polynomiellt:

{\displaystyle \|z(t-t_{0})\|\leq C\|t-t_{0}\|^{-N))

för vissa konstanter och . Således är varje fuchsisk singularpunkt regelbunden . $C$ $N$

Poincaré-Dulac-Levelle normal form

Hilberts 21:a problem

Hilberts tjugoförsta problem var att, givna punkter på Riemanns sfär och en representation av den grundläggande gruppen av deras komplement, konstruera ett system av differentialekvationer med fuchsiska singulariteter vid dessa punkter, för vilka monodromin visar sig vara en given representation. Under lång tid trodde man att detta problem löstes positivt av Plemel (som publicerade lösningen 1908 ), men ett fel upptäcktes i hans lösning på 1970-talet av Yu. S. Ilyashenko . Faktum är att Plemeljs konstruktion gjorde det möjligt att konstruera det erforderliga systemet när åtminstone en av monodromimatriserna är diagonaliserbar . [ett]

År 1989 publicerade A. A. Bolibrukh [ 2] ett exempel på en uppsättning singulära punkter och monodromimatriser som inte kan realiseras av något fuchsiskt system, vilket löste problemet negativt.

Litteratur

↑ Yu. S. Ilyashenko, " Icke-linjärt Riemann-Hilbert-problem ", Differentialekvationer med verklig och komplex tid, Artikelsamling, Tr. MIAN, 213, Nauka, M., 1997, sid. 10-34.
↑ A. A. Bolibrukh, "Riemann-Hilbert-problemet på den komplexa projektiva linjen" , Mat. notes, 46:3 (1989), 118-120

A. A. Bolibrukh, Omvända monodromiproblem i den analytiska teorin för differentialekvationer, M.: MTsNMO, 2009.
Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko, Föreläsningar om analytiska differentialekvationer, AMS, 2007.