Functor Hom

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 29 december 2019; verifiering kräver 1 redigering .

I kategoriteorin tillåter Hom-mängder (det vill säga uppsättningar av morfismer mellan två objekt) att viktiga funktorer definieras i kategorin av uppsättningar . Dessa funktorer kallas Hom-funktioner och har många tillämpningar inom kategoriteori och andra områden inom matematiken.

Definition

Låt C vara en lokalt liten kategori av . Sedan definieras följande två funktioner för något av dess objekt A , B :

Hom( A ,-) : C → Ställ in	Hom(-, B ): C → Ställ in
Detta är en kovariansfunktion definierad enligt följande: Hom( A ,-) mappar varje objekt X i kategori C till uppsättningen morfismer Hom( A , X ) Hom( A ,-) mappar varje morfism f : X → Y till en funktion Hom( A , f ) : Hom( A , X ) → Hom( A , Y ) given som $g\mapsto f\circ g$ för varje g i Hom( A , X ).	Detta är en kontravariant funktion som definieras enligt följande: Hom(-, B ) mappar varje objekt X i kategori C till uppsättningen morfismer Hom( X , B ) Hom(-, B ) mappar varje morfism h : X → Y till en funktion Hom( h , B ) : Hom( Y , B ) → Hom( X , B ) ges av $g\mapsto g\circ h$ för varje g i Hom( Y , B ).

Funktorn Hom(-, B ) kallas även punktfunktorn för objektet B .

Det är också möjligt att definiera en bifunktor Hom(-,-) från C × C till Set som är kontravariant i det första argumentet och samvariant i det andra. Eller, motsvarande, en funktionär

Hom(-,-) : C op × C → Ställ in

där C op är den dubbla kategorin av C .

Inre funktor Hom

I vissa kategorier är det möjligt att definiera en funktion som liknar funktionatorn Hom, men vars värden ligger i själva kategorin. En sådan funktor kallas den inre funktorn Hom och betecknas

{\text{hom}}(-,-):C^{{op}}\ gånger C\ till C

Kategorier som tillåter en inre Hom-funktion kallas slutna kategorier . Eftersom i en sluten kategori (här är jag enheten för den slutna kategorin), kan detta skrivas om som $A\cong hom(I,A)$

{\text{Hom}}(I,{\text{hom}}(-,-))\simeq {\text{Hom}}(-,-)

I fallet med en sluten monoidal kategori kan detta utvidgas till den så kallade currying , dvs en isomorfism

{\text{Hom}}(X,Y\Högerpil Z)\simeq {\text{Hom}}(X\ibland Y,Z)

var är . $Y\högerpil Z$ ${\text{hom}}(Y,Z)$

Relaterade definitioner

En funktor av formen Hom(-, C) : C op → Set är en presheaf ; Följaktligen kan Hom(C, -) kallas en copresheaf.
En funktion F : C → Sätt naturligt isomorf till Hom(X, -) för något objekt C kallas en representativ funktion .
Hom(-, -) : C op × C → Set är en profunctor , nämligen identitetsprofunctor . ${\text{id}}_{C}\colon C\nhögerpil C$
Den inre funktionatorn Hom bevarar gränserna ; det tar nämligen gränser till gränser och gränser för samgränser. På sätt och vis kan detta ses som definitionen av en limit eller colimit. ${\text{hom}}(X,-):C\till C$ ${\text{hom}}(-,X):C^{{\text{op}}}\till C$
Funktionen Hom är ett exempel på en vänsterexakt funktion.

Se även

Anteckningar

S. McLane. Kategorier för en arbetande matematiker, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Goldblatt, R. Topoi. Kategorisk analys av logik, - M. : Mir, 1983. - 487 sid.
Nathan Jacobson . Grundläggande algebra (obestämd) . — 2:a. - Dover, 2009. - Vol. 2. - ISBN 978-0-486-47187-7 .