Felfunktionen (även kallad Gaussisk felfunktion) är en icke-elementär funktion som förekommer i sannolikhetsteori , statistik och teorin om partiella differentialekvationer . Det definieras som
.En ytterligare felfunktion , betecknad (ibland används notationen ), definieras i termer av felfunktionen:
.Den komplexa felfunktionen , betecknad , definieras också i termer av felfunktionen:
.
Om en uppsättning slumpvariabler följer en normalfördelning med en standardavvikelse är sannolikheten att värdet inte avviker från medelvärdet med mer än , lika med .
Felfunktionen och den extra felfunktionen förekommer i lösningen av vissa differentialekvationer, till exempel värmeekvationen med initiala förhållanden som beskrivs av Heaviside-funktionen ("steget").
I digitala optiska kommunikationssystem uttrycks sannolikheten för bitfel också av en formel som använder felfunktionen.
För stora värden är den asymptotiska expansionen för den extra felfunktionen användbar :
Även om denna serie avviker för vilket ändligt tal som helst, räcker i praktiken de första termerna för att beräkna med god noggrannhet, medan Taylor-serien konvergerar mycket långsamt.
En annan approximation ges av formeln
var
Upp till skala och skifta sammanfaller felfunktionen med den normala kumulativa fördelningen , betecknad
Den inversa funktionen av k , känd som den normala kvantilfunktionen , betecknas ibland och uttrycks i termer av den normala felfunktionen som
Den normala kumulativa fördelningen används oftare inom sannolikhetsteori och matematisk statistik, medan felfunktionen är vanligare inom andra områden av matematiken.
Felfunktionen är ett specialfall av Mittag-Leffler-funktionen och kan också representeras som en degenererad hypergeometrisk funktion ( Kummer-funktionen ):
Felfunktionen uttrycks också i termer av Fresnel-integralen . När det gäller den reguljära ofullständiga gammafunktionen P och den ofullständiga gammafunktionen ,
Vissa författare diskuterar mer allmänna drag
Anmärkningsvärda specialfall är:
Efter att ha dividerat med alla med udda utseende liknande (men inte identiska), kan samma sak sägas om med jämn . Alla generaliserade felfunktioner ser ut som halvaxlar .
På halvaxeln kan alla generaliserade funktioner uttryckas i termer av gammafunktionen :
Därför kan vi uttrycka felfunktionen i termer av gammafunktionen:
De itererade integralerna för den komplementära felfunktionen definieras som [1]
, för .De kan ordnas i rad:
varifrån symmetriegenskaperna följer
och
C - språkstandarden (ISO/IEC 9899:1999 klausul 7.12.8) tillhandahåller en felfunktion och en ytterligare felfunktion . Funktioner deklareras i rubrikfiler (för C ) eller (för C++ ). Funktionspar och , deklareras också där . Det första paret tar emot och returnerar värden av typen , och det andra paret returnerar värden av typen . Motsvarande funktioner finns också i Boost - projektbiblioteket . math.hcmatherff()erfcf()erfl()erfcl()floatlong doubleMath
I Java- språket innehåller standardbiblioteket med matematiska funktioner java.lang.Mathinte [2] en felfunktion. Klassen kan hittas i ett icke-standardiserat bibliotekspaket Erfsom tillhandahålls av [3] Apache Software Foundation . org.apache.commons.math.special
Datoralgebrasystem Maple [2] , Matlab [3] , Mathematica och Maxima [4] innehåller vanliga och ytterligare felfunktioner, såväl som funktioner inversa till dem.
I Python är felfunktionen tillgänglig [4] från standardbiblioteket mathsedan version 2.7. Även felfunktionen, ytterligare felfunktion och många andra specialfunktioner definieras i SciPySpecial - projektmodulen [5] .
I Erlang är felfunktionen och den extra felfunktionen tillgängliga från standardmodulen math[5] .
I Excel representeras felfunktionen som FOS och FOS.EXC [6]
![]() |
|
---|---|
I bibliografiska kataloger |