Felfunktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 14 maj 2020; kontroller kräver 5 redigeringar .

Felfunktionen (även kallad Gaussisk felfunktion) är en icke-elementär funktion som förekommer i sannolikhetsteori , statistik och teorin om partiella differentialekvationer . Det definieras som

\operatörsnamn {erf}\,x={\frac {2}({\sqrt {\pi }}}}\int \limits _{0}^{x}e^{{-t^{2}}} \,{\mathrm d}t

En ytterligare felfunktion , betecknad (ibland används notationen ), definieras i termer av felfunktionen: $\operatörsnamn {erfc}\,x$ $\operatörsnamn {Erf}\,x$

\operatörsnamn {erfc}\,x=1-\operatörsnamn {erf}\,x={\frac {2}({\sqrt {\pi ))))\int \limits _{x}^{{\infty }}e^{{-t^{2}}}\,{\mathrm d}t

Den komplexa felfunktionen , betecknad , definieras också i termer av felfunktionen: $w(x)$

w(x)=e^{{-x^{2}}}\operatörsnamn {erfc}\,(-ix)

Egenskaper

Felfunktionen är udda :

\operatörsnamn {erf}\,(-x)=-\operatörsnamn {erf}\,x.

För alla komplex $x$

\operatörsnamn {erf}\,{\bar {x}}=\överlinje {\operatörsnamn {erf}\,x}

där stapeln anger den komplexa konjugationen av talet .

x

Felfunktionen kan inte representeras i termer av elementära funktioner , men genom att expandera det integrerbara uttrycket till en Taylor-serie och integrera term för term, kan vi få dess representation som en serie:

\operatörsnamn {erf}\,x={\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^ {n}x^{{2n+1}}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}({\sqrt {\pi }}}}\left(x-{\frac { x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9} }{216}}-\ \cdots \right)

Denna jämlikhet gäller (och serien konvergerar) både för alla verkliga och på hela det komplexa planet , enligt d'Alembert-testet . Sekvensen av nämnare bildar sekvensen A007680 i OEIS .

x

För iterativ beräkning av elementen i en serie är det användbart att presentera det i en alternativ form:

\operatörsnamn {erf}\,x={\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }\left(x\prod _{{ i=1}}^{n}{{\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)}}}\right)={\frac {2}{{\sqrt {\pi }}}}\summa _{{n=0}}^{\infty }{\frac {x}{2n+1}}\prod _{{i=1}}^{n}{\ frac {-x^{2}}{i}}

eftersom är en faktor som gör den -th medlemmen i serien till -th, med tanke på den första medlemmen .

{\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)))

i

(i+1)

x

Felfunktionen i oändligheten är lika med ett; detta är dock bara sant när man närmar sig oändligheten längs den verkliga axeln, eftersom:

När man överväger felfunktionen i det komplexa planet, kommer punkten att vara väsentligen singular för den. $z=\infty$

Derivatan av felfunktionen härleds direkt från funktionsdefinitionen:

{\frac {d}{dx}}\,\operatörsnamn {erf}\,x={\frac {2}({\sqrt {\pi }}}}\,e^{{-x^{2} }}.

Antiderivatan av felfunktionen, erhållen genom metoden för integration av delar :

F(x)=x\operatörsnamn {erf} (x)+{\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.

Den omvända felfunktionen är en serie

\operatorname {erf} ^{-1}\,x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\ frac {\sqrt {\pi }}{2}}x\right)^{2k+1},

där c 0 = 1 och

c_{k}=\summa _{{m=0}}^{{k-1}}{\frac {c_{m}c_{{k-1-m}}}{(m+1)(2m +1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},\ldots \right\}.

Därför kan serien representeras i följande form (observera att bråken är förkortade):

\operatorname {erf} ^{-1}\,x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(x+{\frac {\pi x^{3} }{12}}+{\frac {7\pi ^{2}x^{5}}{480}}+{\frac {127\pi ^{3}x^{7}}{40320}}+ {\frac {4369\pi ^{4}x^{9}}{5806080}}+{\frac {34807\pi ^{5}x^{11}}{182476800}}+\dots \right).

[ett] Täljar- och nämnarsekvenserna efter reduktion är A092676 och A132467 i OEIS; sekvensen av täljare före förkortning är A002067 i OEIS.

Applikation

Om en uppsättning slumpvariabler följer en normalfördelning med en standardavvikelse är sannolikheten att värdet inte avviker från medelvärdet med mer än , lika med . $\sigma$ $a$ $\operatörsnamn {erf}\,{\frac {a}{\sigma {\sqrt {2))))$

Felfunktionen och den extra felfunktionen förekommer i lösningen av vissa differentialekvationer, till exempel värmeekvationen med initiala förhållanden som beskrivs av Heaviside-funktionen ("steget").

I digitala optiska kommunikationssystem uttrycks sannolikheten för bitfel också av en formel som använder felfunktionen.

Asymptotisk expansion

För stora värden är den asymptotiska expansionen för den extra felfunktionen användbar : $x$

\operatorname {erfc} \,x={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\summa _{n= 1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n))}\right ]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n} {\frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}.

Även om denna serie avviker för vilket ändligt tal som helst, räcker i praktiken de första termerna för att beräkna med god noggrannhet, medan Taylor-serien konvergerar mycket långsamt. $x$ $\operatörsnamn {erfc}\,x$

En annan approximation ges av formeln

(\operatörsnamn {erf}\,x)^{2}\approx 1-\exp \left(-x^{2}{\frac {4/\pi +ax^{2}}{1+ax^{ 2}}}\höger)

var

a={\frac {8}{3\pi }}{\frac {\pi -3}{4-\pi }}.

Relaterade funktioner

Upp till skala och skifta sammanfaller felfunktionen med den normala kumulativa fördelningen , betecknad $\Phi (x)$

\Phi (x)={\frac {1}{2}}{\biggl (}1+\operatörsnamn {erf} \,{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\biggl )}.

Den inversa funktionen av k , känd som den normala kvantilfunktionen , betecknas ibland och uttrycks i termer av den normala felfunktionen som $\Phi$ $\operatörsnamn {probit}$

\operatörsnamn {probit}\,p=\Phi ^{{-1}}(p)={\sqrt {2}}\,\operatörsnamn {erf}^{{-1}}(2p-1).

Den normala kumulativa fördelningen används oftare inom sannolikhetsteori och matematisk statistik, medan felfunktionen är vanligare inom andra områden av matematiken.

Felfunktionen är ett specialfall av Mittag-Leffler-funktionen och kan också representeras som en degenererad hypergeometrisk funktion ( Kummer-funktionen ):

\operatörsnamn {erf}\,x={\frac {2x}{{\sqrt {\pi }}}}\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}}, {\frac {3}{2}},-x^{2}\höger).

Felfunktionen uttrycks också i termer av Fresnel-integralen . När det gäller den reguljära ofullständiga gammafunktionen P och den ofullständiga gammafunktionen ,

\operatörsnamn {erf}\,x=\operatörsnamn {tecken}\,x\,P\left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)={\operatörsnamn {tecken}\ ,x \över {\sqrt {\pi ))}\gamma \left({\frac {1}{2)),x^{2}\right).

Generaliserade felfunktioner

Vissa författare diskuterar mer allmänna drag

E_{n}(x)={\frac {n!}{{\sqrt {\pi }}}}\int \limits _{0}^{x}e^{{-t^{n}}} \,{\mathrm d}t={\frac {n!}{{\sqrt {\pi }}}}\sum _{{p=0}}^{\infty }(-1)^{p} {\frac {x^{{np+1}}}{(np+1)p!}}\,.

Anmärkningsvärda specialfall är:

$E_{0}(x)$ är en rät linje som går genom koordinaternas ursprung: $E_{0}(x)={\frac {x}{e{\sqrt {\pi ))))$
$E_{2}(x)$ är felfunktionen . $\operatörsnamn {erf}\,x$

Efter att ha dividerat med alla med udda utseende liknande (men inte identiska), kan samma sak sägas om med jämn . Alla generaliserade felfunktioner ser ut som halvaxlar . $n!$ $E_{n}$ $n$ $E_{n}$ $n$ $n>0$ $x>0$

På halvaxeln kan alla generaliserade funktioner uttryckas i termer av gammafunktionen : $x>0$

E_{n}(x)={\frac {\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n))\right)-\Gamma \left({\frac {1} {n)),x^{n}\right)\right)}{{\sqrt \pi }}},\quad \quad x>0

Därför kan vi uttrycka felfunktionen i termer av gammafunktionen:

\operatörsnamn {erf}\,x=1-{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2)),x^{2}\right)}({\sqrt \pi ))}

Itererade integraler av den komplementära felfunktionen

De itererade integralerna för den komplementära felfunktionen definieras som [1] $\operatorname {I^{n}erfc}$

\operatörsnamn {I^{0}erfc} \,z=\operatörsnamn {erfc} \,z

\operatorname {I^{n}erfc} \,z=\int \limits _{z}^{\infty }\operatörsnamn {I^{n-1}erfc} \,\zeta \,d\ zeta,

för .

n>0

De kan ordnas i rad:

\operatorname {I^{n}erfc} \,z=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{nj}j !\,\Gamma \left(1+{\frac {nj}{2}}\right)}}\,,

varifrån symmetriegenskaperna följer

\operatorname {I^{2m}erfc} \,(-z)=-\operatörsnamn {I^{2m}erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{\frac { z^{2q}}{2^{2(mq)-1}(2q)!(mq)!}}

och

\operatorname {I^{2m+1}erfc} \,(-z)=\operatörsnamn {I^{2m+1}erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{ \frac {z^{2q+1}}{2^{2(mq)-1}(2q+1)!(mq)!}}\,.

Implementeringar

C - språkstandarden (ISO/IEC 9899:1999 klausul 7.12.8) tillhandahåller en felfunktion och en ytterligare felfunktion . Funktioner deklareras i rubrikfiler (för C ) eller (för C++ ). Funktionspar och , deklareras också där . Det första paret tar emot och returnerar värden av typen , och det andra paret returnerar värden av typen . Motsvarande funktioner finns också i Boost - projektbiblioteket . $\operatörsnamn {erf}$ $\operatörsnamn {erfc}$ math.h cmatherff()erfcf()erfl()erfcl()floatlong doubleMath

I Java- språket innehåller standardbiblioteket med matematiska funktioner java.lang.Mathinte [2] en felfunktion. Klassen kan hittas i ett icke-standardiserat bibliotekspaket Erfsom tillhandahålls av [3] Apache Software Foundation . org.apache.commons.math.special

Datoralgebrasystem Maple [2] , Matlab [3] , Mathematica och Maxima [4] innehåller vanliga och ytterligare felfunktioner, såväl som funktioner inversa till dem.

I Python är felfunktionen tillgänglig [4] från standardbiblioteket mathsedan version 2.7. Även felfunktionen, ytterligare felfunktion och många andra specialfunktioner definieras i SciPySpecial - projektmodulen [5] .

I Erlang är felfunktionen och den extra felfunktionen tillgängliga från standardmodulen math[5] .

I Excel representeras felfunktionen som FOS och FOS.EXC [6]

Se även

Anteckningar

↑ Carslaw, H. S. & Jaeger, J. C. (1959), Conduction of Heat in Solids (2nd ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9 , s 484
↑ Math (Java Platform SE 6) . Tillträdesdatum: 28 mars 2008. Arkiverad från originalet 29 augusti 2009. (obestämd)
↑ Arkiverad kopia (länk ej tillgänglig) . Hämtad 28 mars 2008. Arkiverad från originalet 9 april 2008. (obestämd)
↑ 9.2. matematik - Matematiska funktioner - Python 2.7.10rc0 dokumentation
↑ Erlang - språket . Beskrivning Arkiverad 20 juni 2012 på Wayback Machine med standardmodulfunktioner math.
↑ FOS-funktion . support.microsoft.com . Hämtad 15 november 2021. Arkiverad från originalet 15 november 2021. (obestämd)

Litteratur

Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. & Flannery, Brian P. (2007), avsnitt 6.2. Inkomplett gammafunktion och felfunktion , numeriska recept: The Art of Scientific Computing (3:e upplagan), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
Milton Abramowitz och Irene A. Stegun, red. Handbok för matematiska funktioner med formler, grafer och matematiska tabeller . - New York: Dover, 1972. - T. 7.
Nikolai G. Lehtinen. Felfunktioner (april 2010). Tillträdesdatum: 25 maj 2019. (obestämd)

Länkar

Ordböcker och uppslagsverk	Great Soviet (1 upplaga)
I bibliografiska kataloger	GND : 4156112-0 NDL : 00562553