Karakteristiskt tal (integralekvationer)

Det karakteristiska talet för kärnan i en integralekvation är det komplexa värdet , vid vilket Fredholms homogena integralekvation av det andra slaget $\lambda$

\varphi(x) = \lambda \int_G K(x, y) \varphi(y) \, dy

har en icke-trivial (det vill säga inte identiskt noll) lösning , som kallas en egenfunktion . Här är regionen i , är kärnan i integralekvationen . De karakteristiska siffrorna är reciproka av egenvärdena för integraloperatorn med kärna [1] . Värden som inte är karakteristiska tal kallas regelbundna . If är ett reguljärt värde, Fredholms integralekvation av det andra slaget $\varphi(x)$ $G$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K(x, y)$ $K(x, y)$ $\lambda$ $\lambda$

\varphi(x) = \lambda \int_G K(x, y) \varphi(y) \, dy + f(x)

har en unik lösning för alla lediga perioder ; karakteristiska tal är "singular punkter" där det inte finns någon lösning eller det finns oändligt många lösningar beroende på den fria termen [2] . $f(x)$ $f(x)$

Egenskaper

De karakteristiska numren för den kontinuerliga kärnan har följande egenskaper:

Uppsättningen av karakteristiska tal kan räknas och har inga ändliga gränspunkter .
Mångfalden av ett karakteristiskt tal är antalet linjärt oberoende egenfunktioner som motsvarar det. Mångfalden av varje karakteristiskt tal är ändlig.
Det följer av de två första egenskaperna att de karakteristiska talen kan numreras i stigande ordning efter deras modul :

|\lambda_1| \le |\lambda_2| \le\prickar,

samtidigt som talet upprepas lika många gånger som dess mångfald. $\lambda_k$

$\bar \lambda_1, \, \bar \lambda_2, \prickar$ är alla karaktäristiska tal för unionskärnan . $K^*(x, y) = \overline{K(y, x)}$
Om och , , det vill säga och är kärnornas egenfunktioner respektive , då är egenfunktionerna ortogonala i rymden . $\lambda_k \ne \lambda_i$ $\varphi_k = \lambda_k K \varphi_k$ $\psi_i = \bar \lambda_i K^* \psi_i$ $\varphi_k$ $\psi _{i}$ $K(x, y)$ $K^*(x, y)$ $(\varphi_k, \psi_i) = 0$ $L_2(G)$
Den upprepade kärnan har karakteristiska tal och samma egenfunktioner som kärnan . $K_p(x, y)$ $\lambda_k^p$ $\varphi_k$ $K(x, y)$
Omvänt, om och är ett karakteristiskt tal och motsvarande egenfunktion för den upprepade kärnan , så är åtminstone en av ekvationens rötter kärnans karakteristiska nummer [3] . $\mu$ $\varphi$ $K_p(x, y)$ $\lambda_j, \, j = 1, 2, \prickar, p,$ $\lambda^p = \mu$ $K(x, y)$
Uppsättningen av karakteristiska siffror för den Hermitiska kontinuerliga kärnan är inte tom och ligger på den reella axeln , systemet av egenfunktioner kan väljas ortonormalt [4] .
De karakteristiska talen sammanfaller med resolventets poler [ 2] .
Den degenererade kärnan har ett ändligt antal karakteristiska tal [5] .
Den kontinuerliga kärnan i Volterra har inga karakteristiska siffror [6] .

Se även

Anteckningar

↑ Vladimirov V.S. Equations of matematisk fysik, 1981 , sid. 271.
↑ 1 2 Krasnov M. L. Integralekvationer, 1975 , sid. 35.
↑ Vladimirov V.S. Equations of matematisk fysik, 1981 , kapitel IV, §18, s. 4.
↑ Vladimirov V.S. Equations of matematisk fysik, 1981 , sid. 306.
↑ Vladimirov V.S. Equations of matematisk fysik, 1981 , sid. 292.
↑ Vladimirov V.S. Equations of matematisk fysik, 1981 , sid. 280.

Litteratur

Vladimirov VS ekvationer av matematisk fysik. - Ed. 4:a. - M . : Vetenskap, kap. ed. Phys.-Matte. lit., 1981. - 512 sid.
Krasnov M. L. Integralekvationer. (Introduktion till teori). - M . : Vetenskap, kap. ed. Phys.-Matte. lit., 1975.
Manzhirov A. V., Polyanin A. D. Handbok för integralekvationer: Lösningsmetoder. - M . : Factorial Press, 2000. - 384 sid. - ISBN 5-88688-046-1 .